In democrazia scegliere è un diritto, ma spesso conciliare scelte diverse non è facile. Già nel ‘700 Condorcet aveva mostrato l’esistenza di paradossi nei vari meccanismi di conciliazione delle scelte. Oggi, dalle decisioni italiane sulla situazione pandemica alla battaglia elettorale americana, vediamo come sia sempre più difficile riconciliare posizioni diverse.

Guardiamo la democrazia con gli occhi della matematica per capire meglio alcuni aspetti della complessità del problema

Nel 1957 l’economista americano Kenneth Joseph Arrow dimostra un teorema sui meccanismi collettivi di scelta. Pubblicato su “Social choice and individual values”, il risultato è sorprendente. È una dimostrazione matematica vera e propria. Non lasciamoci ingannare: Arrow si laurea in Matematica alla Columbia University, solo in seguito si dedica allo studio dei fondamenti dell’economia.

Consideriamo una comunità di cittadini chiamati a scegliere su una questione con almeno 3 diverse alternative. Ogni cittadino ha una sua graduatoria tra le diverse alternative e da queste graduatorie individuali bisogna trovare un modo di ricavare una graduatoria generale che soddisfi certi requisiti, che noi chiamiamo democrazia.

Supponiamo che i cittadini siano chiamati a scegliere uno soltanto fra tre candidati: Marco, Luca e Alberto e ogni cittadino abbiamo un suo ordine di preferenze. Come possiamo trovare la scelta tra queste preferenze che sia più soddisfacente?

Nel modello di Arrow, un sistema democratico è un metodo di composizione delle preferenze che soddisfa tre proprietà:

* La sovranità dei cittadini: i cittadini possono scegliere una qualunque alternativa tra Marco, Luca  e Alberto.
* L’indipendenza delle alternative irrilevanti: se i cittadini preferiscono il candidato Alberto al candidato Marco, questo è indipendente dalla presenza del terzo candidato Luca.
* Monotonicità o associazione positiva: se un ulteriore cittadino esprime il suo voto a favore del candidato Marco, il meccanismo di scelta non può far scendere Marco nella graduatoria finale.

Tutto sembra filare liscio. Almeno fino all’arrivo del teorema di Arrow. Si dimostra infatti che l’unico sistema di scelta che soddisfi gli assiomi della democrazia è quello di far scegliere una sola persona. Ossia l’unico sistema decisionale democratico sarebbe la dittatura.

Il teorema di Arrow ci fornisce dunque un apparente paradosso, che in realtà risiede nel tipo di ipotesi che si sono considerate. Negli anni questo risultato è stato esteso e approfondito in tante direzioni, ma una vera soluzione, che non presenti incosistenza di qualche tipo, ancora non è stata trovata e ogni sistema di scelta maggioritario è in realtà un gioco non banale nel senso matematico, in cui la soluzione potrebbe non essere la migliore possibile, ma solo la meno sgradita ai più. Forse vi ricorda qualcosa…

[Illustrazione di Luca Manzo]

Marco Menale