Il 30 settembre scorso è morto Vladimir Voevodsky, ne abbiamo parlato qui e qui. Simone Borghesi, che ha collaborato con lui, ha scritto quanto segue.

Questo non è un necrologio, né tantomeno una biografia; non allegherò curricula, peraltro facilmente reperibili. Considero che il lettore del seguente testo non sia necessariamente familiare con la matematica, ma che almeno provi qualche interesse per la scienza. Questo determina il vocabolario che verrà usato; le poche frasi che usano un linguaggio matematico sono state messe a piè di pagina.

Non mi sarei mai immaginato di trovarmi in una situazione simile a causa dell’imprevedibilità del fatto e ciò rende la stesura ancora più dolorosa.

Basi matematiche

Il lavoro di Vladimir Voevodsky, in gran parte della sua brevissima vita, ha riguardato la matematica, e, negli ultimi anni, tematiche sulle fondazioni della matematica ed informatica. Un unico dominio della matematica ha sempre permeato le sue idee, nonostante l’eterogeneità e diversità delle loro applicazioni: la teoria dell’omotopia. Chiunque operi in matematica usa, studia “oggetti”, anche a sua insaputa, spesso paragonandoli tra di loro tramite “funzioni” o “morfismi”. Oggetti di uno stesso tipo e funzioni vengono riuniti in una “categoria”. Ogni dominio matematico si sviluppa in qualche categoria; in alcuni casi sono necessarie varie categorie per coprirne ogni sua ramificazione. Intuitivamente, una categoria è come un mondo a sé stante, che richiede uno studio particolare, spesso anche un modo di ragionare unico. Talvolta si riescono a confrontare due categorie tramite entità chiamate funtori ed è possibile trasformare una questione, che originariamente riguardava una categoria, in una questione di un’altra categoria. Lo stesso può accadere nelle scienze, con un po’ di immaginazione: una diagnosi di una patologia, questione prettamente medica, talvolta viene ridotta ad un problema di elaborazione di immagini/informatica, tramite l’uso di uno strumento in grado di rilevare l’opacità di parti del corpo a varie lunghezze d’onda/particelle. Quindi: la fisica permette di trasformare, in qualità di funtore, un problema di medicina in una questione di elaborazione d’immagini. Così come nelle scienze, paragonare diverse categorie rappresenta una strategia, dall’efficacia straordinaria, nella comprensione della matematica.

Un mantra matematico è quello dell’invarianza della difficoltà di una dimostrazione: se esistono più dimostrazioni di una affermazione, partendo da un’ipotesi fissata, esse hanno la stessa “difficoltà”. Nella visione più comune della matematica il concetto di difficoltà nel dimostrare un’affermazione si riduce a due soli livelli: banale, se e stata dimostrata, e difficile, se è ancora aperta, perciò l’invarianza della difficoltà si riduce ad una tautologia. Invece gli studiosi di matematica che hanno un concetto di difficoltà più articolato osservano che una possibile strategia per la dimostrazione di una congettura enunciata in una certa categoria è di tradurla/trasformarla in una di altra categoria, in cui la matematica si sia sviluppata maggiormente. In ogni periodo storico sono sempre esistiti domini della matematica che hanno avuto maggiore progresso rispetto ad altri e negli anni 1950-1970 la teoria dell’omotopia è probabilmente stata quella che ha goduto di tale primato. I tentativi di comprensione della sua questione principale, cioè il calcolo dei gruppi di omotopia delle sfere, ha portato allo sviluppo di numerosi strumenti innovativi ed avanzati che, pur permettendo il calcolo solo di qualche gruppo, hanno profondamente cambiato lo studio della geometria e dell’algebra per i decenni a venire. Il mantra suggerisce quindi che sarebbe saggio pensare di usare la teoria dell’omotopia in altri campi della matematica, laddove possibile.

La categoria a cui si applica la teoria dell’omotopia ha come oggetti spazi topologici e, come morfismi, funzioni continue tra di essi. È la stessa categoria di cui si occupa la topologia. Sta nella differenza tra topologia e teoria dell’omotopia la chiave per comprendere la centralità di quest’ultima nel pensiero matematico di Voevodsky. Scelgo deliberatamente di usare termini dotati di significato etimologico italiano, non corretti matematicamente nel contesto trattato, ma che rendono intuitivamente l’idea. Come in ogni categoria, anche tra gli spazi topologici esiste il concetto di oggetti “uguali” (isomorfi in linguaggio matematico), ma, a differenza di altre categorie, si può anche dare la nozione di spazi topologici “simili” (stesso tipo di omotopia). Questa nozione specifica di similitudine tra spazi topologici è determinata dalla considerazione che molte loro caratteristiche interessanti sono invarianti per spazi simili. Un cerchio, un’ellisse, un quadrato, un triangolo sono tutti “uguali” come spazi topologici, mentre tutti gli spazi euclidei sono “simili” indipendentemente dalla dimensione, così come un cerchio è simile ad un piano con un punto mancante, ma nessuno di questi è “uguale” ad uno degli altri. Storicamente, si è cercato di creare una nuova categoria \({\mathcal{H}}\) con spazi topologici come oggetti, in cui l’uguaglianza coincida con la similitudine; il fatto che valga la pena di farlo è sottile, e la difficoltà per crearla elevata a tal punto che, con gli anni, è sostanzialmente nata una branca della matematica con tale scopo, anche per oggetti diversi da spazi topologici.

Voevodsky e la matematica

La dimostrazione della congettura di Milnor è esemplare nell’evidenziare l’approccio di Voevodsky alla matematica. Come studente aveva analizzato testi classici di Grothendieck per acquisire familiarità con il linguaggio usato in geometria algebrica moderna. Durante il suo dottorato ha iniziato a riflettere su quali analogie potessero esserci tra la categoria delle varietà algebriche e quella degli spazi topologici, da un punto di vista omotopico. Negli anni successivi si chiese fino a che punto ci si poteva spingere nel creare un analogo della categoria \({\mathcal{H}}\), partendo da varietà algebriche invece che da spazi topologici. Il ricreare in un campo diverso qualcosa di esistente non era un semplice vezzo: le congetture di Beilinson prevedevano l’esistenza di funtori (coomologia motivica), dalla categoria delle varietà algebriche verso la categoria dei gruppi, molto simili ai classici gruppi di coomologia per spazi topologici. Essi dovevano essere invarianti per un nuovo tipo di “similitudine” tra varietà algebriche. In analogia con il caso topologico, Voevodsky si aspettava un uso della categoria \({\mathcal{H}}\) per varietà algebriche, al fine di arricchire tali gruppi di strutture algebriche più evolute che ne avrebbero aumentato il potere risolutivo (nota 1).

Voevodsky non ha solo usato risultati e strumenti preesistenti in modo intelligente o pervicace. Nel suo studio matematico non ha avuto un relatore, o chiunque altro, che lo indirizzasse su una particolare strada da seguire e su tecniche da usare. Piuttosto, dotatosi del linguaggio, si lasciava guidare da ciò che la matematica stessa gli suggeriva stimolandogli la curiosità e la meraviglia, rimanendo completamente incurante del rischio a cui un approccio così individualistico ed originale lo esponeva. Il suo percorso per la dimostrazione della congettura di Milnor, prevedeva dei risultati chiave propedeutici enunciabili all’interno della categoria congetturale \({\mathcal{H}}\) per varietà algebriche. La costruzione di tale categoria ha richiesto la creazione di quello che oggi è un nuovo dominio della matematica. In questo periodo, le collaborazioni con altri matematici, da cui peraltro ha imparato molto, si sono limitate a qualche passaggio propedeutico. Contemporaneamente all’aspetto omotopico astratto, mirato soprattutto all’esistenza di strutture, iniziò appena prima della metà degli anni ’90 una collaborazione con A. Suslin, che portò a definire le classi in coomologia motivica in modo più costruttivo, con rappresentanti più comprensibili e “manipolabili”. Nel momento in cui si convinse che la categoria \({\mathcal{H}}\) per varietà algebriche era stata creata [2], ed i funtori da questa categoria avevano la struttura che si aspettava [4], Voevodsky annunciò la dimostrazione della congettura di Milnor, rendendo pubblico l’articolo [1], che, da solo, io ritengo sia il più grande virtuosismo mai elaborato da lui e probabilmente da chiunque altro in matematica. Era l’anno 1996; la versione definitiva [3] fu pubblicata nel 2003. Per dare un’idea di quanto la matematica sviluppata per scrivere tale articolo fosse ampia ed innovativa, riporto i seguenti fatti. Dai primi seminari che Voevodsky svolgeva sull’argomento alla Northwestern University, era emerso immediatamente che nessuno sarebbe stato in grado in quel momento, e per vari anni successivi, di verificare la dimostrazione completa. Infatti nessuno simultaneamente aveva le competenze necessarie in teoria dell’omotopia, geometria algebrica e K teoria algebrica. Sei anni dopo, nel 2002, i testi riguardanti la matematica finalizzata alle dimostrazioni della congettura, che erano stati resi pubblici, avvicinavano il migliaio di pagine. Nello stesso periodo si doveva prendere una decisione sull’assegnazione delle Medaglie Fields, ma i massimi esperti ancora brancolavano nel buio su parti consistenti di [1]. I teorici dell’omotopia, diciamo “classica”, avevano verificato le sezioni in cui essa veniva pesantemente utilizzata, ma solo supponendo che gli oggetti a cui si applicava fossero spazi topologici e non varietà algebriche, nulla del resto risultava loro comprensibile. I teorici delle categorie si limitavano a ribadire che la categoria \({\mathcal{H}}\) esisteva per le varietà algebriche ed aveva le caratteristiche attese. All’Institut des Hautes Études Scientifiques di Bures-sur-Yvette i geometri algebrici ed esperti di K teoria controllavano, in un ciclo di seminari, le parti tecniche ed i calcoli in coomologia motivica, “prendendo per buoni” i passaggi derivanti dalle strutture algebro-topologiche, con l’uso delle più raffinate tecniche di teoria delle categorie e dell’omotopia stabilite e create in centinaia di pagine di articoli apparsi negli anni precedenti. Pur con le attenuanti della genialità di Voevodsky, della difficoltà intrinseca degli argomenti, della cripticità e cinicità con cui lui comunicava il materiale, ci si poteva chiedere come mai i migliori specialisti non riuscissero, neanche in squadra, a ricostruire con completezza la dimostrazione, pur conoscendone il percorso. La difficoltà era solo intrinseca alla matematica avanzata, o dipendeva anche da come i matematici si interfacciavano con essa? Tali questioni non si sono poste. Invece si dibatteva esclusivamente sul “dettaglio”, seppur molto rilevante, di stabilire se la dimostrazione fosse esente da errori/incompletezze, per tecnici che potessero essere, oppure, testualmente, “il figlio fosse mezzo nato”.

Periodo di Princeton e congettura di Bloch-Kato

Immediatamente dopo l’annuncio della dimostrazione della congettura di Milnor, Voevodsky si occupò di “formalità” quali la pubblicazione di [2], [4] ed altro materiale, nonostante la sua curiosità riguardante queste tematiche fosse lontana dall’essere soddisfatta. La congettura di Milnor, riscritta in altri termini, diventa un caso particolare di un’altra, conosciuta con il nome di congettura di Bloch-Kato in K teoria algebrica. La sua tesi è un’uguaglianza tra due gruppi (nota 2), ciascuno dipendente da un intero positivo \(n\) e da un numero primo \(p\); la congettura di Milnor equivale alla dimostrazione di questa tesi per ogni numero naturale \(n\) ed il numero primo \(p=2\). Voevodsky aveva immediatamente circoscritto l’ostruzione ad estendere la sua dimostrazione ad ogni primo \(p\): non erano conosciute varietà algebriche che godessero delle proprietà algebriche (nota 3) e di tipo di omotopia (nota 4) che avevano le quadriche di Pfister.

Voevodsky, dopo tre anni passati alla Northwestern University, si trasferì nel 1998 all’Institute for Advanced Study di Princeton, istituzione che gli ha inizialmente dedicato i finanziamenti e le strutture per la durata di tre “anni speciali” consecutivi, diventando poi la sua affiliazione permanente. Densissimo fu quel periodo per lui: oltre a dedicarsi alla sua ricerca, ha ininterrottamente svolto cicli di seminari, che oggi formano il contenuto del libro [5] e appunti [6].

Mentre la comunità matematica istituzionale si interrogava sulla completezza della dimostrazione della congettura di Milnor, Voevodsky lavorava già alla sua estensione: punto di partenza furono le varietà algebriche create da M. Rost, uno studioso che precedentemente aveva ottenuto la dimostrazione della congettura per \(n\) molto bassi. Rost visitò Voevodsky a Princeton durante uno di questi anni e la loro collaborazione portò a grandi progressi, che però non si conclusero con una stesura della dimostrazione completa della congettura. Gli anni che seguirono furono, in un certo senso, interlocutori; fu un periodo complicato e di grandi cambiamenti per Vladimir. La pietra tombale sulla congettura di Bloch-Kato arrivò solamente negli anni 2010 e 2011 con la pubblicazione di una miriade di risultati propedeutici, da lungo annunciati ed attesi, e la dimostrazione completa [7].

Nuovi interessi, nuove persone

Da metà anni duemila, almeno ufficialmente, Voevodsky cominciò ad interessarsi ai fondamenti della matematica e, più in generale, a cosa può essere considerato “vero” in matematica. Era interessato all’impiego di metodi automatizzati per verificare implicazioni logiche. La teoria dei tipi rappresenta l’interfaccia tra le fondazioni della matematica e l’informatica: la teoria dei tipi di Martin-Löf fornisce un formalismo per le fondazioni, abitualmente importato in linguaggi di programmazione, come Coq, per il controllo di dimostrazioni.

Voevodsky, ispirandosi alla teoria dell’omotopia, propose l’aggiunta di un assioma (di “univalenza”) a questa teoria di tipi: in tale contesto, si richiede assiomaticamente che il “tipo delle uguaglianze” sia equivalente al “tipo delle equivalenze”, analogamente agli spazi topologici, per i quali si otteneva la categoria \({\mathcal{H}}\) rendendo le similitudini/equivalenze degli isomorfismi. La validità di questo assioma ha un risultato pratico, infatti, permettendo l’identificazione di tipi che sono solo equivalenti, in tale formalismo, si semplifica la scrittura delle dimostrazioni matematiche complicate.

La sua attività su questi argomenti ha riguardato sia la parte teorica, che quella più pratica, consistente nella programmazione. Voevodsky era convinto che le “fondazioni univalenti” costituissero il formalismo corretto in cui scrivere tutte le future dimostrazioni matematiche e in cui trascrivere le vecchie.

A metà degli anni 2010, il suo rapporto con giovani ricercatori e studenti era radicalmente cambiato. Negli anni in cui si occupava delle congetture di Milnor e Bloch-Kato, chi voleva imparare da lui, interagendo direttamente senza portare nuove idee, riceveva scarsa attenzione. In questi ultimi anni invece era frequentemente circondato da giovani con cui comunicava. Il modo in cui gestiva la sua attività di ricerca includeva assiduamente la divulgazione, specialmente tra più giovani, delle sue idee e motivazioni; ciò al fine di massimizzarne, nel tempo, l’efficacia e la diffusione. In particolare le motivazioni esposte nei suoi seminari, molti dei quali registrati in video e disponibili liberamente in rete, stupiscono per naturalezza, ragionevolezza e per la loro lontananza da preconcetti banali. Egli era ben cosciente di questo suo cambiamento, dunque, almeno in parte, è stata una scelta deliberata. Non amava parlare del periodo “motivico” della sua ricerca, come se ciò togliesse enfasi all’importanza che egli dava ai suoi studi attuali. L’unico tratto realmente sopravvissuto ad ogni trasformazione nella sua ricerca è la centralità della teoria dell’omotopia.

Ritengo che la parola chiave nella vita di Voevodsky sia stata curiosità; parola ben presente, nella stessa forma, anche nella sua interazione con il mondo circostante, di cui ammirava ed apprezzava il lato estetico, oltre che scientifico. La chimica, anche per tradizioni familiari, era spesso presente nelle nostre discussioni. Nella sua attività di ricerca ed apprendimento, lasciava che fosse questo sentimento di curiosità a dettare l’ordine ed il tipo degli argomenti da investigare, quasi mai libri, relatori od altri matematici influenti. Di essi conosceva ogni risultato, di cui spesso ha fatto uso, ma è stato l’approccio personale a marcare la strada.

Vladimir Voevodsky, uomo di rara sensibilità e correttezza morale, rifuggiva da atteggiamenti servili nei propri confronti. Molto riservato e affabile al tempo stesso, non era mai asettico e determinati comportamenti lo indisponevano fortemente; anche in queste occasioni mai definiva persone con termini irrispettosi, neanche in separata sede. Mentre partivo dall’aeroporto di Newark non più di qualche mese fa, a riguardo di una persona di cui deplorava profondamente il modo di agire, Vladimir mi disse, dopo averci riflettuto, la seguente frase tragicamente diventata una delle ultime: “lui non sta lavorando per la prossima vita, ma per questa”.

Simone Borghesi

Riferimenti bibliografici

[1] The Milnor-Conjecture. Preprint. 1996

[2] Morel, F., and V. Voevodsky, “\(A^1\)-homotopy theory of schemes”, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math., pp. 45-143 (2001), 1999.

[3] Voevodsky, V., “Motivic cohomology with Z/2-coefficients”, Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci., pp. 59-104, 2003.

[4] Voevodsky, V., “Reduced power operations in motivic cohomology”, Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci., pp. 1-57, 2003.

[5] Mazza, C., V. Voevodsky, and C. Weibel, “Lecture notes on motivic cohomology”, Clay Mathematics Monographs, vol. 2: American Mathematical Society, Providence, RI; Clay Mathematics Institute, Cambridge, MA, pp. xiv+216, 2006

[6] Deligne, P., “Voevodsky’s lectures on motivic cohomology 2000/2001”, Algebraic topology, vol. 4: Springer, Berlin, pp. 355-409, 2009.

[7] Voevodsky, V., “On motivic cohomology with Z/l-coefficients”, Ann. of Math. (2), vol. 174, pp. 401-438, 2011.

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Note a pié di pagina

(nota 1) azione dell’algebra di Steenrod motivica ⇑

(nota 2) Sia \(p\) un numero primo e \(k\) un campo di caratteristica diversa da \(p\). Denotiamo con \(H^*(k, {\mathbb{Z}}/p)\) i gruppi di coomologia a coefficienti in \({\mathbb{Z}}/p\) del gruppo di Galois di una chiusura separabile \(k_{sep}\) di \(k\). La successione esatta (Kummer) \[1\to {\mathbb{Z}}/p\to k^*_{sep}\stackrel{(\;\;)^p}{\to}k^*_{sep}\to 1\] induce una successione esatta lunga in coomologia \(H^*(k, -)\). Sia \(c: k^*_{sep}\to H^1(k, {\mathbb{Z}}/p)\) il morfismo di cobordo in grado \(0\) di questa successione. \(c\) si estende ad un morfismo di gruppi \(c^n:k^*_{sep}\otimes_{\mathbb{Z}}\stackrel{n}{\cdots}\otimes_{\mathbb{Z}}k^*_{sep}\to H^n(k,{\mathbb{Z}}/p)\) definito come \(a_1\otimes\cdots\otimes a_n\to c(a_1)\cup\cdots\cup c(a_n)\), dove \(\cup\) è il prodotto “cup”. Il nucleo del morfismo \(c^*:\bigotimes_* k^*_{sep}\to H^*(k, {\mathbb{Z}}/p)\) contiene l’ideale generato da \(a\otimes (1-a)\) e l’ideale generato da \(p\), perciò induce un omomorfismo \(nr: K_*^M(k)/p\to{H^*(k,{\mathbb{Z}}/p)}\) dalla \(K\) teoria di Milnor del campo \(k\). In grado \(0\) è un isomorfismo sostanzialmente per definizione, in grado \(1\) si può dimostrare che è un isomorfismo tramite il classico teorema 90 di Hilbert. In grado \(2\) la questione sull’isomorfia di \(nr\) può essere interpretata in termini di algebre semplici centrali e varietà di Severi-Brauer a loro associate. Al primo \(p=2\) e considerando ogni grado, tale questione è legata allo studio delle forme quadratiche su \(k\). La congettura di Bloch-Kato asserisce l’isomorfismo di \(nr\) sotto l’ipotesi iniziale. ⇑

(nota 3) rispetto alla K teoria algebrica modulo \(p=2\) di certi campi. ⇑

(nota 4) numeri caratteristici di Chern di una loro realizzazione qualsiasi come varietà complesse. ⇑