Dalia Somekh, una studentessa di V liceo scientifico della Scuola ebraica di Milano, ci racconta come, per fare meno fatica e superare la noia, ha trovato un’idea semplice per ridurre i passaggi di risoluzione di integrali indefiniti (di funzioni fratte).
Quante volte vi sarà capitato, studiando le materie scientifiche, di incontrare metodi di risoluzione, di esercizi o problemi, particolarmente lunghi ed elaborati? E di aver avuto voglia di abbandonare il tutto? Beh, questo è proprio ciò che è successo a me durante questo mio ultimo anno di liceo scientifico. Argomento gli Integrali Indefiniti. Nello specifico, per dirla tutta, integrali indefiniti di espressioni fratte, con denominatore di secondo grado con discriminante nullo, = 0. Mica poco! Il procedimento di risoluzione proposto dal libro di testo mi è subito apparso particolarmente lungo e monotono e decisamente noioso. Mi toccava poi per compito a casa svolgerne tre esercizi di questo tipo per allenarmi all’applicazione di questo metodo. Dopo il primo esercizio avevo riempito un intero foglio di conti per raggiungere la soluzione. Possibile? Dovevo continuare così e svolgerne altri due. Ho fortemente sperato che quel procedimento così lungo e poco intuitivo non fosse l’unico possibile. La mia voglia di lavorare meno reclamava idee nuove e possibilità diverse. Così, un po’ per gioco, un po’ per pigrizia e un po’ per noia mi sono lanciata una sfida: provare un metodo alternativo che mi facesse risparmiare un po’ di carta e un po’ d’inchiostro… e un po’ di tempo soprattutto. Dopo qualche tentativo e fallimento ecco… E se applicassimo una sostituzione? Le righe di calcolo si accorciavano notevolmente come potete controllare qui sotto:
Il metodo proposto dal libro:
Riporto di seguito un esempio, per mostrare il procedimento proposto dal libro in maniera più chiara.
Qui di seguito riporto lo stesso esercizio sopra mostrato, svolto con il metodo da me formulato:
Era un caso oppure il metodo poteva funzionare in generale per tutti gli integrali indefiniti di quel tipo? Applicandolo nuovamente funzionava sempre e accorciava i calcoli noiosi!
Arrivata in classe il giorno dopo mi ha accolta l’entusiasmo della mia professoressa di matematica e dei compagni. Perché non provarlo su altri esercizi? Per esempio, per integrali con denominatore di grado superiore al secondo? O per evitare la divisione di polinomi quando il numeratore è di grado superiore rispetto al denominatore (sempre nel caso delta=0)?
Anche qui i vantaggi sembravano notevoli! Riporto di seguito un esempio, svolto prima con la divisione in polinomi e poi con il metodo di sostituzione.
Metodo con la divisione in polinomi:
Ora vediamo il metodo di sostituzione:
Il metodo risulta efficace anche in casi in cui il denominatore sia di grado superiore al secondo come potete sperimentare per il caso
Insomma, da questo esperimento nato un po’ casualmente, mi sono sentita molto soddisfatta e mi sono convinta che, a volte, se non ci accontentiamo delle formule note, possiamo trasformare pigrizia e noia in nuove strategie utili a fare meno fatica.
Sono pienamente d’accordo! La risposta alla tua perplessità è semplice : insegnanti di matematica vera, ce ne sono pochissimi e i tanti seguono pari pari ciò che riportano i libri, che come è noto sono molto riduttivi e pieni di errori. Bravissima la ragazza!
Ester Rita Belfiore
il 20th Maggio 2020 alle 09:29
Complimenti alla prof che ha saputo riconoscere e valorizzare la tua libertà, rispettandola! A questo siamo chiamati! Poco importa se il metodo era già applicato o no! Non era un concorso al premio Nobel, ma molto di più!…
Grazie mille per il commento! È proprio vero, grande merito alla mia prof. che ha sempre cercato di far nascere in noi studenti la voglia di andare oltre e ha sempre dato molto valore al pensiero libero!
Il metodo è validissimo. Tra l’altro è molto usato all’Università. Funziona, ma bisogna stare attenti alle sostituzioni. Se poi si può sempre usare non te lo so dire. Dovresti chiedere a qualche matematico. Complimenti
Certo che il metodo di sostituzione non è stato inventato dalla signorina Dalia.
Ma il punto è che non le è stato insegnato, ma l’ha scoperto da sé.
Quanto all’insegnante invece di giudicare le sue le competenze, delle quali non sappiamo nulla, ammiriamo piuttosto la capacità di cogliere l’occasione per entusiasmare un gruppo di ragazzi e incoraggiare la loro autonomia di pensiero.
Complimenti davvero hai avuto un’ottima intuizione. Il metodo della sostituzione è sempre valido, di fatto nei corsi universitari noi lo applichiamo spesso; è più breve sicuramente ma bisogna fare il passaggio dx e dt e per quello spesso alle superiori si insegnano piuttosto metodi standard (come hai visto più lunghi) ma che si dimostrano più noiosi e ripetitivi.
Ancora brava
Complimenti anche da parte mia per la capacita’ di provare metodi di integrazioni diversi gia’ noti . Non sempre pero’ e’ immediato trovare il metodo di sostituzione adatto. Comunque brava!!!
Credo che la potenza di questo articolo non sia il fatto che la prof. dovesse già conoscere questa strategia, ma la libertà intellettuale, l’intelligenza e la curiosità di questa ragazza che ha avuto il coraggio e la pazienza (che doti nobili soprattutto oggi!) per cercare una strada nuova. Brava!
Concordo con Roberta. Il classico esempio del guardare il dito e non la luna.
A quanto pare l’insegnante avrebbe fatto meglio a rispondere alla studentessa, come qualcuno qui sotto ha commentato, che non aveva scoperto nulla di nuovo e che la prossima volta avrebbe fatto meglio a dare più esercizi, così da lasciare meno tempo a pensare a corbellerie del genere.
Complimenti anche per la redazione dell’articolo, che visivamente risulta molto piacevole
Concordo parzialmente con Luca.
Questo metodo era già noto ovvero qualcun’altro prima di te l’aveva già ideato, MA esserci attivata anche tu da sola senza che qualcuno ti dicesse nemmeno della sua esistenza è veramente un ottimo risultato! Sei stata davvero brava!
Anche io sono un po’ perplesso del fatto che la tua insegnante non lo conoscesse
Non voglio assolutamente denigrare il lavoro fatto dalla ragazza, ma il “metodo di sostituzione” utilizzato, di solito viene spiegato, seguendo le linee propedeutiche dello sviluppo degli integrali indefiniti, prima delle funzioni razionali fratte, quindi mi sembra abbastanza normale che un alunno decida di risolvere un integrale con “sostituzione”!!!!!
Buongiorno Cinzia,
non si tratta di risolvere un integrale ‘per sostituzione’ ma di aver individuato un’integrazione notevole applicabile sempre per quel tipo di esercizi e che riduce di molto i calcoli previsti dalle regole note.
Nessun alunno normalmente si sente in grado di fare meglio delle formule fornite dal libro. Insegnare a provarci è la nostra missione di docenti di matematica
Un caro saluto
Buongiorno Michele,
l’insegnante sono io, piacere. Sia io che la mia studentessa siamo sempre stati al corrente dell’esistenza del metodo di sostituzione (diversamente Dalia non avrebbe potuto applicarlo in questo caso ‘notevole’). La questione qui è di aver individuato un tipo di esercizi in cui fosse interessante applicare il metodo per ottenere un monomio al denominatore e ricondurre lo svolgimento alla scomposizione di frazioni. Grazie per aver apprezzato la creatività dell’idea e la capacità di ragionare fuori dagli schema, primo obiettivo di apprendimento della matematica!
Si ma nulla di così eclatante, operare per sostituzione usabdo t si usa dai logaritmi in poi quando serve ed è uno dei metodi già tutt’ora usati per svolgere integrali indefiniti. Complimenti lo stesso ma 3 esercizi per casa… so davvero pochi, beata te 😉
L’idea di Dalia non è stata quella di scoprire la sostituzione come procedimento, ma di aver trovato una ‘sostituzione notevole’ per quel tipo di esercizi, un paradigma nuovo. E il valore di quello che ha fatto è stato soprattutto di non essersi adagiata sull’applicazione acritica di regole note. Di aver capito che le regole matematica sono punti di partenza per nuove esplorazioni e non punti di arrivo per studenti (che giustamente si chiedono perché allora non usare le macchine che fanno il lavoro di calcolo molto meglio degli umani).
Insomma se la matematica aiuta, come io penso, a sviluppare il pensiero strategico, questo è proprio un bel esempio.
La professoressa di Dalia
Bravissima Dalia e complimenti vivissimi alla sua prof.
Insegnare la matematica come strumento di interpretazione e risoluzione di problemi, stimolare la curiosità e il pensiero critico, valorizzare la capacità degli studenti di applicare (rigorosamente) le “regole note” per arrivare a risultati “originali” penso sia esattamente ciò che un bravo docente dovrebbe sempre fare.
In particolare mi colpisce positivamente la ricerca costante di metodi “che facciano risparmiare tempo e fatica (mentale)”. Cioè che semplifichino la risoluzione di problemi apparentemente lunghi e complessi.
Questo è lo spirito dei matematici veri.
Chi pensa che insegnare la matematica significhi insegnare metodi e procedure standard e acquisire “competenze acritiche” ha capito ben poco della disciplina.
Quindi, ancora complimenti vivissimo a Dalia e alla sua prof.
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Sono pienamente d’accordo! La risposta alla tua perplessità è semplice : insegnanti di matematica vera, ce ne sono pochissimi e i tanti seguono pari pari ciò che riportano i libri, che come è noto sono molto riduttivi e pieni di errori. Bravissima la ragazza!
Complimenti alla prof che ha saputo riconoscere e valorizzare la tua libertà, rispettandola! A questo siamo chiamati! Poco importa se il metodo era già applicato o no! Non era un concorso al premio Nobel, ma molto di più!…
Grazie mille per il commento! È proprio vero, grande merito alla mia prof. che ha sempre cercato di far nascere in noi studenti la voglia di andare oltre e ha sempre dato molto valore al pensiero libero!
Il metodo è validissimo. Tra l’altro è molto usato all’Università. Funziona, ma bisogna stare attenti alle sostituzioni. Se poi si può sempre usare non te lo so dire. Dovresti chiedere a qualche matematico. Complimenti
Certo che il metodo di sostituzione non è stato inventato dalla signorina Dalia.
Ma il punto è che non le è stato insegnato, ma l’ha scoperto da sé.
Quanto all’insegnante invece di giudicare le sue le competenze, delle quali non sappiamo nulla, ammiriamo piuttosto la capacità di cogliere l’occasione per entusiasmare un gruppo di ragazzi e incoraggiare la loro autonomia di pensiero.
Complimenti davvero hai avuto un’ottima intuizione. Il metodo della sostituzione è sempre valido, di fatto nei corsi universitari noi lo applichiamo spesso; è più breve sicuramente ma bisogna fare il passaggio dx e dt e per quello spesso alle superiori si insegnano piuttosto metodi standard (come hai visto più lunghi) ma che si dimostrano più noiosi e ripetitivi.
Ancora brava
Dalia ti faccio tantissimi complimenti! Spero che tu possa essere valorizzata per le tue capacità e ti auguro di cuore tanta fortuna! Sii felice!
Concordo!! Mi ha stupito il fatto che ci è arrivata da sola. Bravissima Dalia.
Complimenti anche da parte mia per la capacita’ di provare metodi di integrazioni diversi gia’ noti . Non sempre pero’ e’ immediato trovare il metodo di sostituzione adatto. Comunque brava!!!
Grazie mille!
Credo che la potenza di questo articolo non sia il fatto che la prof. dovesse già conoscere questa strategia, ma la libertà intellettuale, l’intelligenza e la curiosità di questa ragazza che ha avuto il coraggio e la pazienza (che doti nobili soprattutto oggi!) per cercare una strada nuova. Brava!
Concordo con Roberta. Il classico esempio del guardare il dito e non la luna.
A quanto pare l’insegnante avrebbe fatto meglio a rispondere alla studentessa, come qualcuno qui sotto ha commentato, che non aveva scoperto nulla di nuovo e che la prossima volta avrebbe fatto meglio a dare più esercizi, così da lasciare meno tempo a pensare a corbellerie del genere.
Complimenti anche per la redazione dell’articolo, che visivamente risulta molto piacevole
grazie Roberta e Clever!
Concordo parzialmente con Luca.
Questo metodo era già noto ovvero qualcun’altro prima di te l’aveva già ideato, MA esserci attivata anche tu da sola senza che qualcuno ti dicesse nemmeno della sua esistenza è veramente un ottimo risultato! Sei stata davvero brava!
Anche io sono un po’ perplesso del fatto che la tua insegnante non lo conoscesse
Non voglio assolutamente denigrare il lavoro fatto dalla ragazza, ma il “metodo di sostituzione” utilizzato, di solito viene spiegato, seguendo le linee propedeutiche dello sviluppo degli integrali indefiniti, prima delle funzioni razionali fratte, quindi mi sembra abbastanza normale che un alunno decida di risolvere un integrale con “sostituzione”!!!!!
La Cinzia Marano che insegnava a Cetraro nei primi anni 90?
Buongiorno Cinzia,
non si tratta di risolvere un integrale ‘per sostituzione’ ma di aver individuato un’integrazione notevole applicabile sempre per quel tipo di esercizi e che riduce di molto i calcoli previsti dalle regole note.
Nessun alunno normalmente si sente in grado di fare meglio delle formule fornite dal libro. Insegnare a provarci è la nostra missione di docenti di matematica
Un caro saluto
Nella matematica c’è sempre da scoprire e docenti infallibili non ne h mai conosciuti!
Buongiorno Michele,
l’insegnante sono io, piacere. Sia io che la mia studentessa siamo sempre stati al corrente dell’esistenza del metodo di sostituzione (diversamente Dalia non avrebbe potuto applicarlo in questo caso ‘notevole’). La questione qui è di aver individuato un tipo di esercizi in cui fosse interessante applicare il metodo per ottenere un monomio al denominatore e ricondurre lo svolgimento alla scomposizione di frazioni. Grazie per aver apprezzato la creatività dell’idea e la capacità di ragionare fuori dagli schema, primo obiettivo di apprendimento della matematica!
Si ma nulla di così eclatante, operare per sostituzione usabdo t si usa dai logaritmi in poi quando serve ed è uno dei metodi già tutt’ora usati per svolgere integrali indefiniti. Complimenti lo stesso ma 3 esercizi per casa… so davvero pochi, beata te 😉
Ok adesso dimostralo
Il cambio di variabili è sempre esistito, non hai scoperto nulla e mi stupisco che la tua professoressa non lo sappia
Infatti….
L’idea di Dalia non è stata quella di scoprire la sostituzione come procedimento, ma di aver trovato una ‘sostituzione notevole’ per quel tipo di esercizi, un paradigma nuovo. E il valore di quello che ha fatto è stato soprattutto di non essersi adagiata sull’applicazione acritica di regole note. Di aver capito che le regole matematica sono punti di partenza per nuove esplorazioni e non punti di arrivo per studenti (che giustamente si chiedono perché allora non usare le macchine che fanno il lavoro di calcolo molto meglio degli umani).
Insomma se la matematica aiuta, come io penso, a sviluppare il pensiero strategico, questo è proprio un bel esempio.
La professoressa di Dalia
Bravissima Dalia e complimenti vivissimi alla sua prof.
Insegnare la matematica come strumento di interpretazione e risoluzione di problemi, stimolare la curiosità e il pensiero critico, valorizzare la capacità degli studenti di applicare (rigorosamente) le “regole note” per arrivare a risultati “originali” penso sia esattamente ciò che un bravo docente dovrebbe sempre fare.
In particolare mi colpisce positivamente la ricerca costante di metodi “che facciano risparmiare tempo e fatica (mentale)”. Cioè che semplifichino la risoluzione di problemi apparentemente lunghi e complessi.
Questo è lo spirito dei matematici veri.
Chi pensa che insegnare la matematica significhi insegnare metodi e procedure standard e acquisire “competenze acritiche” ha capito ben poco della disciplina.
Quindi, ancora complimenti vivissimo a Dalia e alla sua prof.