di Alessandro Zaccagnini

Chiunque scorra una lista di numeri primi, anche molto distrattamente, non può fare a meno di notare alcune regolarità: una delle prime che attraggono l’attenzione è il fatto che, molto spesso, se p è un numero primo dispari lo è anche l’intero dispari successivo, in formule p+2 (per esempio, questo accade 8 volte fino a 100 e 205 volte fino a 10000). Questa osservazione empirica è stata formalizzata nella Congettura enunciata dai matematici inglesi G. H. Hardy & J. E. Littlewood. In un loro importante lavoro del 1923, i due hanno fornito un’argomentazione euristica che dà una formula per il numero di numeri primi p che non superano un certo intero grande x e per i quali anche p+2 è primo: in altre parole, hanno trovato un modo, plausibile ma non del tutto rigoroso, per stimare quanti numeri primi hanno questa proprietà (oggi, questa formula è stata confermata numericamente per valori di x piuttosto grandi). Piú in generale, Hardy e Littlewood hanno congetturato che p e p+h sono simultaneamente primi infinite volte se h è un intero positivo pari, dando una formula asintotica come quella descritta sopra.

In realtà, si osservano alcune “costellazioni” di numeri primi: per esempio, un gran numero di volte p, p+2 e p+6 sono simultaneamente primi. Non si può chiedere che p, p+2 e p+4 siano simultaneamente primi piú di una volta, e cioè quando p=3, poiché uno dei tre interi n, n+2, n+4 è un multiplo di 3 qualunque sia n: dunque, è necessario prendere in considerazione solo quelle costellazioni, dette ammissibili, che soddisfano semplici proprietà di compatibilità, in definitiva riconducibili a congruenze modulo numeri primi piccoli (due numeri si dicono congruenti modulo k se la loro differenza è divisibile per k). In effetti, è possibile considerare costellazioni con un numero fissato, anche grande, di numeri primi, purché non vi siano ostruzioni dal punto di vista delle congruenze. La mia costellazione preferita è p, p+2, p+6, p+8: per esempio, sono simultaneamente primi 11, 13, 17, 19; 101, 103, 107, 109; 191, 193, 197, 199; 821, 823, 827, 829. Si pensa che ne esistano infinite altre dello stesso tipo.

Un principio empirico è questo: ci si aspetta che ciò che non è vietato dalle congruenze accada infinite volte. Per fare un famoso esempio, i primi p per cui anche 2p+1 è primo sono probabilmente infiniti: questi sono stati usati da Sophie Germain per la sua dimostrazione parziale dell’Ultimo Teorema di Fermat.

Appare dunque assai plausibile, perché è un’affermazione molto piú debole delle precedenti, che si possa trovare una costante C, magari molto grande, per cui esistono infinite coppie di numeri primi consecutivi che distano al massimo C. Come spesso accade nella teoria dei numeri primi, si tratta di un problema facile da enunciare che allo stesso tempo è estremamente difficile risolvere. Fino a relativamente poco tempo fa i risultati noti erano piuttosto insoddisfacenti; poi Dan Goldston & Cem Yıldırım (statunitense il primo, turco il secondo) hanno introdotto una nuova tecnica che, però, apparentemente forniva solo una nuova dimostrazione dei teoremi noti in precedenza, dimostrati negli anni Settanta. La potenza di questo nuovo metodo è stata sfruttata meglio quando il matematico ungherese János Pintz ha portato alcune nuove idee, che sono state impiegate per ottenere un’impressionante serie di miglioramenti sostanziali (impressionante se si tiene conto della velocità dei progressi in un campo rimasto quasi stagnante per decenni). Dal punto di vista matematico, è importante osservare la connessione di questo problema con il Teorema di Bombieri, di cui parleremo sotto.

Un’idea chiave dei metodi recenti è quella di usare un gran numero di costellazioni ammissibili e di fare una media su queste. La media cancella una parte delle informazioni e dà un risultato piú debole, ma riduce le oscillazioni di alcuni termini difficili da trattare individualmente. Analogamente, è impossibile prevedere il comportamento di una singola particella di un gas, sottoposta a un’enorme quantità di urti, ma il comportamento medio di un gran numero di queste è descritto con precisione, a livello macroscopico, da pochi parametri, quali volume, temperatura, pressione.

Un’altra regolarità che si osserva subito in una lista di numeri primi è che terminano tutti con una delle cifre 1, 3, 7 o 9, esclusi i fattori primi di 10 (2 e 5). La cosa non evidente a priori è che i numeri primi sono approssimativamente equidistribuiti fra questi 4 gruppi. Naturalmente la base 10 non ha interesse intrinseco: se scrivessimo in base 12, come qualche buontempone ogni tanto suggerisce, avremmo ancora lo stesso risultato qualitativo, e cioè tutti i numeri primi, esclusi i fattori primi di 12 (2 e 3), terminano con le “cifre” 1, 5, 7 o 11 e si distribuiscono in modo quasi uniforme fra le quattro classi. Se invece scrivessimo in base 60 come facevano i Babilonesi, tolti i fattori primi di 60 (2, 3 e 5), vedremmo che tutti i numeri primi cadono nelle 16 classi ammissibili in modo approssimativamente uniforme. Una progressione aritmetica, nel caso che ci interessa qui, è una successione o sequenza di interi che si ottiene partendo da un certo numero dato e aggiungendo sempre un intero fissato, detto ragione della progressione (per esempio, i numeri interi che terminano con 3 si ottengono tutti partendo da 3 e sommando ripetutamente 10: dunque formano una progressione aritmetica di ragione 10).

Il Teorema di Bombieri, per il quale è stato insignito della Medaglia Fields, afferma che questo fenomeno empirico è una legge molto precisa: si tratta di un’affermazione valida in media su un gran numero di progressioni, secondo la quale il comportamento dei numeri primi, da questo punto di vista, è sostanzialmente il migliore possibile, tenendo conto di alcune limitazioni note da circa un secolo. Trattandosi una media, però, non è possibile escludere che esista qualche progressione aritmetica che si allontana dal comportamento ottimale, cosí come, tornando alla nostra analogia precedente, non è possibile prevedere il comportamento di una singola particella di un gas, pur conoscendone precisamente volume, temperatura e pressione. In molte applicazioni pratiche, questa media è tutto quanto serve. Notiamo il paradosso apparente: non conosciamo nessuna progressione che ha la proprietà di distribuzione ottimale, ma il Teorema di Bombieri ci assicura che quasi tutte le progressioni hanno questa proprietà.

Un importante sottoprodotto della tecnica di Goldston, Pintz & Yıldırım è che anche un piccolo miglioramento del Teorema di Bombieri è sufficiente a dimostrare l’esistenza di una costante C (molto grande) con la proprietà spiegata sopra. Il matematico cinese Yitang Zhang ha dimostrato nella scorsa primavera una versione del Teorema di Bombieri che vale solo per progressioni le cui ragioni hanno fattori primi relativamente piccoli ma con il miglioramento citato sopra, ottenendo che C=70 milioni è un valore ammissibile. James Maynard ha pubblicato a metà novembre un articolo in cui dimostra che il Teorema di Bombieri classico è sufficiente, e si può prendere C=600. Il limite del suo metodo è C=12.

Per concludere, due parole sul metodo dimostrativo. Tutti hanno sentito parlare del Crivello di Eratostene, il matematico alessandrino che per primo ha misurato la lunghezza del meridiano terrestre. Il crivello è un procedimento (un algoritmo, diremmo oggi con il linguaggio dell’informatica) che permette di produrre la lista dei numeri primi fino a un certo limite. Nel XVIII secolo, il matematico Adrien-Marie Legendre si rese conto del fatto che l’idea di Eratostene può essere utilizzata anche per calcolare quanti numeri primi ci sono fino al limite desiderato, pur senza conoscere individualmente i numeri primi stessi. La sua formula, infatti, non consiste affatto nel determinare i numeri primi per poi contarli! Questa tecnica è stata sviluppata enormemente nel corso del XX secolo: in particolare Atle Selberg, un matematico norvegese che ha ricevuto a sua volta la Medaglia Fields per i suoi studi sui numeri primi, ha introdotto un particolare tipo di crivello che oggi porta il suo nome. Si tratta di uno strumento teorico di grande versatilità e generalità, che può essere adattato a un gran numero di problemi interessanti della Teoria dei Numeri, ed è in effetti alla base delle dimostrazioni di Goldston, Pintz & Yıldırım, Zhang e infine Maynard. Quest’ultimo ha introdotto una variante del crivello di Selberg per mezzo della quale è riuscito a individuare una ben precisa costellazione (data esplicitamente in carne e ossa nel suo articolo) la quale contiene infinite volte 2 numeri primi: poiché la costellazione in questione comincia con n e termina con n+600, come immediata conseguenza abbiamo il Teorema di Maynard. Lo stesso autore dice che, con ogni probabilità, in un futuro prossimo sarà possibile trovare un’altra costellazione con la quale ridurre il numero 600 ad un valore piú piccolo.

Le sorprese non sono certo finite!