Recentemente è stato assegnato a George Lusztig il premio Wolf 2022 per la matematica. Corrado De Concini, che lo ha conosciuto bene, condivide con noi alcuni dei suoi ricordi matematici. 

L’opera di George Lusztig rappresenta uno dei contributi piu profondi e influenti nella teoria delle rappresentazioni dei gruppi di tipo Lie e in soggetti affini, della seconda meta del Novecento e dell’inizio del nuovo millennio.

Ho conosciuto George all’inizio dell’autunno del 1971. Mi ero appena laureato a Roma e su suggerimento della mia relatrice Silvana Abeasis, avevo fatto domanda per conseguire un dottorato a Warwick in Inghilterra. Warwick era una Università nuova, fondata nel 1964, ma già allora era uno dei massimi centri per la matematica nel Regno Unito. Quando arrivai a Warwick, mi fu assegnato come “supervisor” Lusztig. Ero molto intimidito e mi trovai davanti una persona giovanissima, aveva solo 25 anni, ed estremamente timida. Le comunicazioni fra noi, almeno all’inizio, furono complicate, sia per i reciproci caratteri, sia per le mie paure e la mia scarsa conoscenza della lingua inglese. Al momento non sapevo di avere appena avuto uno dei massimi colpi di fortuna della mia vita.

George veniva dalla Romania e, a quello che mi e stato raccontato da suoi colleghi, era probabilmente già allora il miglior matematico rumeno. Essendo ebreo, capì che non avrebbe potuto ambire a una posizione accademica nel suo paese. Decise quindi di emigrare, e riuscl a farlo durante un convegno Euratom a Stresa nel 1968. A quel punto ebbe un invito a passare un periodo in Gran Bretagna, prima a Warwick e poi a Oxford, dove ebbe l’opportunita di discutere con Michael Atyiah e Isidore Singer.

A questo punto le cose ebbero un’improvvisa accelerazione. George fu invitato a presenziare l’Arbaistagung a Bonn, e Atyiah, che si stava trasferendo all’Institute for Advanced Study a Princeton, gli propose di seguirlo. Le autorita romene non concessero a Lusztig il visto per recarsi in USA, e a quel punto lui decise di disertare e si recò a Princeton, dove fra le altre cose ottenne un Ph.D. con relatori (probabilmente pro forma) lo stesso Atyiah e William Browder. La tesi riguardava le segnature superiori di Novikov e, a qual che mi dicono, è ancora molto rilevante.

Nel 1971 George arriva a Warwick come Research Fellow (diventerà full professor nel 1974) e dunque io diventai il suo primo studente. In realtà io ero stato indirizzato alla topologia, argomento su cui Lusztig lavorava. Ma Lusztig, probabilmente incuriosito dal lavoro di Quillen sulla congettura di Adams, e con l’esperta guida di Roger Carter, molto velocemente si spostò sulla teoria delle rappresentazioni.

Ricordo distintamente un corso sulle rappresentazioni modulari di \(Gl(n)\) che era un vero e proprio happening. Le parole di Roger Carter descrivono perfettamente la situazione:
“He gave a remarkable 30 lecture M.Sc. course on the modular representation theory of the general linear group in which, during the second half, he was working out the theory while giving the course. There were a few occasions when he was apologetic that the lecture lasted only 40 rather than 50 minutes because he had not made sufficient progress since the previous lecture! “

Al momento nel Mathematical Reviews figurano 267 pubblicazioni a nome di Lusztig fra cui 4 Monografie. Per ragioni ovvie mi limiterò ad illustrare solo i contributi che ritengo piu importanti almeno per me. Chi volesse saperne di più puo consultare l’articolo di R.W. Carter^{[1 ]}Carter, R. W., A survey of the work of George Lusztig (with a list of his publications). Nagoya Math. J. 182, 1-45, i-xi (2006); addendum and correction 183, i-ii (2006)..

Inoltre, come dice Sarnak, Lusztig è un “mathematician’s mathematician”, ovvero un matematico i cui interessi si rivolgono a problemi la cui formulazione è spesso ardua e richiede il possesso di complicati strumenti tecnici.

Ricordo che una rappresentazione di una struttura algebrica come un gruppo o un’algebra è la realizzazione di tale struttura mediante simmetrie di uno spazio lineare ovvero come matrici. Il primo contributo fondamentale di Lusztig riguarda lo studio delle rappresentazioni e caratteri di gruppi finiti di tipo Lie. A parte 26 gruppi sporadici, tutti i gruppi semplici finiti sono di tipo Lie. Ora, all’inizio degli anni settanta, a parte il lavoro classico di Frobenius su \(Sl(2, F_q)\), ovvero il gruppo delle matrici \(2\times 2\) a coefficienti in un campo finito \(F_q\) con q elementi e il calcolo di Green dei caratteri di \(Gl(n, F_q)\), la conoscenza delle rappresentazioni e dei caratteri dei gruppi finiti di tipo Lie era piuttosto limitato e i metodi usati relativamente classici.

Il fondamentale lavoro congiunto di Lusztig con Pierre Deligne^{[2 ]}Deligne, Pierre; Lusztig, G. Representations of reductive groups over finite fields. Ann. Math. (2) 103, 103-161 (1976), ha rivoluzionato l’argomento introducendo metodi geometrici, topologici e algebrici completamente nuovi nella comprensione dei caratteri irriducibili dei gruppi riduttivi finiti. Dopo questo lavoro e i lavori successivi, che hanno eventualmente portato Lusztig alla determinazione completa dei caratteri di tutti i gruppi finiti di tipo Lie (si veda per esempio la monografia di Lusztig ^{[3 ]}Lusztig, George, Characters of reductive groups over a finite field. Annals of Mathematics Studies, 107. Princeton, New Jersey: Princeton University Press. XXI, 384 p. (1984)), la teoria delle rappresentazioni dei gruppi finiti ha completamente cambiato volto. A proposito della loro collaborazione, Deligne, nell’intervista rilasciata in occasione del conferimento del premio Abel, dice: “Lusztig had the whole picture of how to use l-adic cohomology for group representations, but he did not know the techniques. I knew the technical aspect of l-adic cohomology, and I could give him the tools he needed.” Ricordo che una volta George mi disse che la coomologia l-adica e come un’automobile, forse non sai come funziona un motore a scoppio ma lei comunque ti porta a destinazione.

Il secondo lavoro che credo sia da ricordare è con D. Kazhdan^{[4 ]}Kazhdan D., Lusztig, G. Representations of Coxeter groups and Hecke algebras. Invent. Math. 53 (1979), no. 2, 165-184. Nel lavoro si introduce per ogni coppia di elementi \(x, y\) in un gruppo di Coxeter \(W\), per esempio un gruppo diedrale o il gruppo simmetrico \(S_n\) o più in generale un gruppo di Weyl di un gruppo algebrico semisemplice, un polinomio \(P_{x,y}\) a coefficienti interi ora detto polinomio KL. L’articolo non e affatto tecnico e risulta molto leggibile. D’altro canto, ha generato una quantità di matematica impressionante. Per prima cosa, nel caso del gruppi di Weyl, Kazhdan e Lusztig hanno poco dopo dimostrato la positività dei coefficienti di tali polinomi dandone un’interpretazione coomologica mediante la coomologia di intersezione di Goresky e MacPherson, piu precisamente nella versione algebrica dovuta a Deligne. A proposito di questo va detto che la versione di Deligne e gli sviluppi successivi della teoria, fasci perversi etc. sono stati a loro volta, enormemente influenzati dal lavoro di Kazhdan e Lusztig. Inoltre, sempre nel lavoro del 1979 viene congetturato che i polinomi \(P_{x,y}\) forniscano un metodo per calcolare i caratteri di alcune rappresentazioni di dimensione infinita di un’algebra di Lie. Tale congetture furono dimostrate da Brilinsky e Kashiwara e indipendentemente da Beilinson e Bernstein, e hanno ispirato un numero enorme di congetture spesso formulate dallo stesso Lusztig. Vorrei infine ricordare che la congettura generale di positivita dei coefficienti già formulata nel lavoro del 1979 è stata finalmente dimostrata pochi anni fa^{[5 ]} Elias, B.; Williamson, G. The Hodge theory of Soergel bimodules. Ann. of Math. (2) 180 (2014), no. 3, 1089-1136.

Un ultimo contributo di Lusztig che, fra i tanti, ritengo sia necessario citare sia pure di sfuggita è quello relativo ai gruppi quantici e loro applicazioni. I gruppi quantici non sono gruppi, ma algebre di Hopf non commutative e neanche cocommutative e originano dalla teoria dei sistemi integrabili quantistici. Lusztig ne ha studiato le proprietà algebriche dandone anche applicazioni a oggetti piu classici quali i gruppi di Lie semplici. In particolare ha dimostrato l’esistenza di basi canoniche per le rappresentazioni irriducibili di tali gruppi (esistenza dimostrata in modo indipendente da Kashiwara) e fra le altre cose, ha usato per estendere i classici risultati di Whitney sulle matrici totalmente positive, al caso di un qualunque gruppo riduttivo reale.

Vorrei a questo punto ricordare che, anche per quanto riguarda le basi canoniche, ho assistito, nell’autunno del 1989, al corso in cui, in modo analogo a quello ricordato da Carter, Lusztig sviluppava la teoria, lezione dopo lezione. Se ben ricordo, in un’occasione la lezione fu cancellata per mancanza di progressi.

Concludendo, non credo ci siano parole piu appropriate per descrivere il contributo di George Lusztig alla matematica della citazione contenuta nella motivazione per l’assegnazione del premio Leroy P. Steele for Lifetime Achievement del 2008 “Lusztig s work had entirely reshaped representation theory and, in the process, prompted changes in much of the fleld of mathematics.“

Corrado De Concini

[In copertina: George Lusztig. Immagine presa dal sito della Wolf Foundation]