Andrea Ratto, professore Ordinario di Geometria presso l’Università degli studi di Cagliari, ha scritto per noi questo commento in occasione del premio Abel a  Karen Uhlenbeck.

La prima volta che sentii parlare di Karen Uhlenbeck fu all’università di Warwick, nel 1985. Io ero appena arrivato per iniziare i miei studi di Ph.D. e incontrai quello che poi divenne un mio grande amico, Giorgio Valli, che colgo l’occasione per ricordare, a vent’anni dalla sua prematura scomparsa, come persona eccezionale e bravissimo matematico. Giorgio era a Warwick da poco più di un anno e mi disse, con grande entusiasmo, che aveva appena ottenuto un piccolo sviluppo ”addirittura” di un recentissimo lavoro di Uhlenbeck relativo alla costruzione di 2-sfere armoniche in un gruppo di Lie. Uhlenbeck aveva inventato una procedura ricorsiva completamente geometrica per costruire soluzioni analitiche di un modello matematico di grande rilevanza in fisica nucleare (chiral model): utilizzava opportuni fibrati olomorfi sulla 2-sfera per ”aggiungerli” iterativamente sfruttando la struttura algebrica dei gruppi e creare così nuove soluzioni (nei testi scientifici, questo metodo geniale rimase noto con la terminologia adding unitons). Fui molto colpito dalla profondità di quegli argomenti, in cui difficili concetti di topologia, geometria differenziale e algebrica si compenetravano con finissime tecniche di analisi per fornire risposte a problemi di interesse non solo matematico, ma anche fisico. Per dare una prima idea di quanto già allora questi argomenti venissero considerati rilevanti, dico che il contributo di Valli, una bella appendice in coda al lavoro di Uhlenbeck, fu pubblicato su Topology  ^{[1 ]} Valli G.: On the energy spectrum of harmonic 2-spheres in unitary groups, Topology 27 (1988) 2 129-136 (Oxford University Press), che all’epoca era sicuramente tra le primissime riviste al mondo per qualità e impatto.

Poco dopo  iniziai la mia tesi sulle applicazioni armoniche e, in questo contesto, ebbi modo di conoscere meglio e apprezzare altri contributi fondamentali di Uhlenbeck allo studio del funzionale energia e, più generalmente, alla creazione di un nuovo approccio alla teoria geometrica della misura che, estendendo a un contesto geometrico-topologico i metodi di E. De Giorgi, H. Federer e W. Fleming, ancor oggi costituisce un punto fermo dell’analisi su varietà riemanniane.

Lo studio di funzionali di ispirazione geometrica ha origini molto antiche, basti pensare al problema isoperimetrico citato da Virgilio nell’Eneide, allo studio della brachistocrona di J. Bernoulli nel 1696, o al classico problema di Plateau, la cui soluzione di J. Douglas nel 1930 diede inizio allo sviluppo del calcolo variazionale, nel senso più moderno . In questo contesto, la grande intuizione di partenza di Karen Uhlenbeck, formulata in un lavoro congiunto con J. Sacks ^{[2 ]} Sacks J.,   Uhlenbeck K.:  The existence of minimal immersions of 2-spheres, Ann. of Math (2)  113 (1981), 1, 1–24 , è stata quella di collegare certi accumuli di energia in un processo di minimizzazione con la formazione di bolle in cui l’energia stessa si scaricava al limite del processo (bubbling off of spheres). Uno degli aspetti più  significativi di questa idea fu la sua applicabilità a varietà di dimensione arbitraria, in cui la formazione di bolle diventa riconducibile a determinate caratteristiche topologiche e geometriche dell’ambiente. Successivamente Uhlenbeck, anche in collaborazione con S-T. Yau, riuscì a sviluppare queste idee estendendole all’affascinante contesto delle teorie di gauge e dei campi di Yang-Mills, dove avanzatissimi concetti matematici interagiscono con le leggi di Maxwell dell’elettromagnetismo.

James Eells (ringraziato da Sacks-Uhlenbeck nel loro succitato celebre lavoro) fu tra i primi a motivare Uhlenbeck a lavorare su problemi collegati alle mappe armoniche. Nel 1989, nell’ambito di un simposio annuale intitolato ”PDE’s in Geometry”, Eells invitò Uhlenbeck a tenere una conferenza che ebbe come oggetto l’illustrazione di una sua serie di lavori, in collaborazione con R. Schoen, in cui venivano analizzati alcuni ampliamenti della teoria del bubbling off al caso in cui il dominio ha dimensione arbitraria, fornendo stime accurate della dimensione di Hausdorff delle possibili singolarità dei punti critici.  il seminario aveva luogo il venerdì pomeriggio, nell’ambito di un programma con cadenza settimanale che Eells aveva denominato ”Geometry and Physics Seminar”. In quell’occasione due cose mi colpirono particolarmente. In genere, eravamo presenti in circa una trentina, di cui almeno la metà studenti di dottorato. Quel giorno, a testimonianza della notorietà e reputazione di Karen Uhlenbeck, l’affluenza raddoppiò, coinvolgendo un sorprendente numero di importanti matematici di altri settori: ad esempio, ricordo la presenza di D. Elworthy (processi stocastici), D. Epstein e C. Zeeman (topologia), M. Reid (geometria algebrica), J. Stewart (sistemi dinamici) e Caroline Series (un’altra grande esponente femminile nel campo della matematica, esperta in geometria iperbolica e attualmente Presidente della London Mathematical So- ciety). La seconda cosa che notai fu l’attenzione che Karen Uhlenbeck ripose nell’interpretare la sua lezione non semplicemente come un momento per spiegare tecniche e risultati, bensì, soprattutto, come un’opportunità per discutere le più  attuali correnti di pensiero su quei temi e dare un’idea di quella che era la sua visione per i possibili conseguenti sviluppi.

Questo interesse ad essere sempre proiettata verso il futuro è assolutamente tangibile leggendo un suo bellissimo survey dal titolo Instantons and their relatives, pubblicato nel 1992 dall’American Mathematical Society ^{[3 ]}  Uhlenbeck K.:  Instantons and their relatives. American Mathematical Society centennial publications, Vol. II (Providence, RI, 1988), 467–477, Amer. Math. Soc., Providence, RI,1992.  in cui vengono evidenziati i parallelismi tra la teoria delle superfici minimali e quelle di gauge e dei campi di Yang-Mills. Ed  è proprio in quest’ottica che, a mio giudizio, deve essere riconosciuto e sottolineato uno dei più  grandi meriti di Karen Uhlenbeck: non soltanto aver ottenuto risultati molto profondi e difficili, ma anche aver aperto nuove vie in cui altri grandi matematici hanno trovato un terreno molto fertile per sviluppare le proprie idee. Cito, ad esempio, S. Donaldson (medaglia Fields 1986), che ha applicato la teoria di gauge allo studio della topologia delle 4-varietà e M. Gromov (premio Abel 2009), che ha fatto uso della teoria del bubbling off di sfere per sviluppare i suoi modelli matematici relativi alla teoria delle stringhe. Per avere un’ulteriore attestato dell’impatto dei lavori di Karen Uhlenbeck, segnalo infine un dato di quelli che oggi vanno molto di moda: il database Math. Sci. Net dell’American Mathematical Society dice che Karen Uhlenbeck è stata citata da oltre 1700 autori diversi!

Karen Uhlenbeck è stata la prima donna a ricevere il premio Abel: non ho voluto, in questa occasione, spostare l’attenzione dall’aspetto scientifico al problema delle discriminazioni cui spesso una donna può andare incontro nel mondo universitario. Mi limito ad affermare che, conoscendo la competenza e l’impegno di moltissime ricercatrici, sono sicuro che a questo premio per la Prof.ssa Uhlenbeck faranno seguito, a breve, altri importanti riconoscimenti alle numerose donne che lavorano in modo eccellente nel campo della matematica.

Andrea Ratto

Andrea Ratto ha conseguito il PhD a Warwick sotto la direzione del Prof. James Eells. È stato research assisant presso l’Università di Warwick, professore presso l’Università di Brest e della Calabria. Dal 1997 è professore ordinario di geometria presso l’Università degli studi di Cagliari. La sua  attività di ricerca spazia dalla geometria differenziale e Riemanniana, allo studio delle equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico e parabolico. Di particolare rilevanza per questo articolo,  i suoi contributi alla teoria delle mappe armoniche tra sfere.