Se è piovuto in un weekend d’estate, quando potrebbe riaccadere? Il lemma di Kac risponde con la matematica dei sistemi dinamici. Ce ne parla Marco Menale per La Lente Matematica.

Fare previsioni sul futuro è un’arte rischiosa. Lo sa bene chiunque abbia controllato il meteo per un weekend estivo, salvo poi trovarsi sotto la pioggia con la scritta “sereno” ancora in vista sullo smartphone. La matematica è parte del meccanismo delle previsioni. Ad esempio, c’è il teorema di ricorrenza di Poincaré: sotto opportune condizioni, possiamo stare tranquilli che alcune situazioni prima o poi si ripresenteranno. Il problema resta quel “prima o poi”, come la pioggia in un weekend estivo. Il lemma di Kac misura quest’attesa.

Partiamo dal protagonista. Mark Kac è stato un matematico e statistico polacco, naturalizzato statunitense. Interessatosi di probabilità, dopo aver letto Kolmogorov, ha lasciato diversi risultati in questo settore, così come in fisica-matematica, diffondendo la visione probabilistica dei sistemi dinamici. È inoltre ricordato per la domanda “Can one hear the shape of a drum?”, sul legame tra geometria e suoni.

Passiamo all’enunciato del lemma, formulato negli anni Quaranta, che porta il suo nome. Consideriamo un sistema dinamico che conserva la misura \(\mu\) e sia \(A\) un sottoinsieme misurabile dello spazio. Allora, le traiettorie che partono da \(A\) ritornano in \(A\) in un tempo medio \(T_A\) inversamente proporzionale alla misura \(A\), in formule:

\[T_A \approx \frac{1}{\mu(A)}.\]

Se \(\mu\) è una misura di probabilità e \(\mu(A)\), dunque, è la probabilità che il sistema si trovi in \(A\), allora ritorneremo ad avere la situazione \(A\) in un tempo medio inversamente proporzionale alla probabilità di \(A\). Più è probabile \(A\), meno bisogna attendere, e viceversa. Per questo il lemma di Kac rappresenta, in un certo senso, una risposta al ritorno di un evento garantito dal teorema di ricorrenza di Poincaré

Facciamo un esempio. Prendiamo una ruota divisa in \(10\) settori numerati e giriamola. Se ogni settore ha uguale probabilità di uscire, allora la probabilità che esca un certo numero è \(1/10\). Dal lemma di Kac il tempo medio per rivedere un certo numero è di \(10\) giri. Se i settori diventano \(1000\), e quindi cambiano le probabilità, allora dovremo aspettare in media \(1000\) giri per rivederlo, molti di più della situazione precedente. Questo è in linea con l’esperienza. Infatti, nel secondo caso abbiamo più numeri che possono essere ottenuti girando la ruota, quindi ci aspettiamo che trascorra più tempo affinché ritorni uno stesso numero. Tuttavia, si parla di tempo medio di attesa, non certo di una definizione precisa del “quando” accadrà di nuovo.

Il Lemma di Kac fa riflettere, pur nella semplicità della sua formulazione. Alcune configurazioni di un sistema dinamico possono tornare solo dopo tempi lunghi, anche se teoricamente garantite (dalla ricorrenza di Poincaré). Quindi, potreste salvarvi per molto tempo prima di veder rovinato dalla pioggia un altro weekend estivo.