La storia dell’umanità è tristemente colma di conflitti: da semplici omicidi a guerre mondiali. Ma come si distribuiscono nel tempo? Una risposta arriva dal modello di Lewis Fry Richardson. Ce ne parla Marco Menale.

Il 2022 è segnato dall’invasione dell’Ucraina da parte della Russia. Dopo quasi ottant’anni ritorna un conflitto in Europa. La paura di un suo allargamento e la minaccia nucleare alimentano l’incertezza verso il futuro. Tuttavia sono diversi gli scenari di guerra in giro per il mondo attualmente in corso (qui per qualche dato). E diversi ce ne sono stati dalla fine della seconda guerra mondiale, primi fra tutti Balcani e Medio-Oriente. Ma come si distribuiscono i conflitti nel corso degli anni? Possiamo rispondere con un modello sviluppato da Richardson.

Lewis Fry Richardson è stato un matematico, fisico e meteorologo britannico. Presta servizio come infermiere durante la prima guerra mondiale. In questa fase si interessa dell’impatto della matematica sulla guerra. Sviluppa così un modello per descrivere la corsa agli armamenti in una situazione di confronto tra due paesi (qui per i dettagli).

Inoltre Richardson avvia una raccolta di dati sui conflitti avvenuti tra il 1820 e il 1950. Ma non solo guerre, decide di considerare anche gli omicidi. Infatti è un atto premeditato di una persona per ucciderne un’altra, come avviene per le guerre. A suo avviso i conflitti sono da inquadrare comunque nella violenza. E questo lavoro si conclude nel 1960 con la pubblicazione del libro “Statistics of Deadly Quarrels”.

In primo luogo Richardson cerca di caratterizzare i singoli conflitti. E per farlo introduce il parametro \(\mu\): la magnitudine. Detto \(d\) il numero di morti di un conflitto, la sua magnitudine è definita come:

\[\mu=\log_{10}(d).\]

Ad esempio, se un conflitto ha causato \(100\) morti, allora la sua magnitudine è \(2\). Quindi la seconda guerra mondiale ha una magnitudine di circa \(7\), essendo decine di milioni i morti. Mentre l’uccisione di una singola persona ha magnitudine \(0\). Tuttavia Richardson non considera nel calcolo della magnitudine le morti dovute a fame o epidemie successive, come nel caso della spagnola. L’uso del logaritmo ha una duplice motivazione. Da un lato consente una più semplice rappresentazione dei dati su di un grafico. Dall’altro al logaritmo si associa un errore di \(\pm 0,5\).

Nel periodo 1820-1950 Richardson conta \(315\) conflitti con magnitudine \(\mu\geq 2,5\). Tra questi elenca \(7\) eventi con magnitudine \(6\), cioè nell’ordine dei milioni di morti. Ad esempio la guerra di secessione americana, la rivoluzione bolscevica e la guerra civile spagnola. E sono circa \(9,5\) milioni quelli con magnitudine zero, cioè singoli omicidi. La seconda guerra mondiale è l’evento con magnitudine più alta.

A questo punto Richardson applica un test dell’ipotesi. Ricava che il numero medio di conflitti segue una distribuzione di Poisson. Questa distribuzione descrive la probabilità che si verifichino di seguito e indipendentemente un certo numero di eventi, nota la loro media nel tempo.

Nello specifico, sia \(p\) la probabilità dello scoppio di un conflitto nel corso di un anno. Allora la probabilità di avere \(n\) nuovi conflitti in un singolo anno è:

\[\displaystyle \frac{e^{-p}\cdot p^n}{n!}.\]

Se \(p\) è molto piccolo, allora questa distribuzione descrive molti anni senza nessun nuovo conflitto e pochi con conflitti a bassa magnitudine. Infatti al crescere di \(n\), la probabilità di avere anni con molti conflitti cala rapidamente.

Indichiamo con \(y\) il numero di anni con \(k\) nuovi conflitti \((k=0,1,2,3,\dots )\). E sia \(\lambda\) il numero medio di conflitti in un anno. Dalla descrizione di Richardson segue che le \(y\) si distribuiscono come una Poisson \(Y\), cioè:

\[\displaystyle Y=\frac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^k}{k!}\cdot N,\]

dove N è il numero totale di anni.

 

 

La descrizione di Richardson presenta dei limiti. Ad esempio non sono considerati i danni collaterali dei conflitti, come povertà e peggioramento delle condizioni di vita. Inoltre la distribuzione di Poisson indica una mancanza di correlazione tra gli eventi, in contrasto con quanto ci si possa aspettare. Tuttavia con qualche modifica questo grosso lavoro si concilia anche con i dati successivi al 1951 (qui per i dettagli). Un lavoro che conferma l’impegno della comunità matematica per la società.