Uno degli aspetti piú sorprendenti della matematica è come i teoremi vengono scoperti. Come hanno fatto i grandi matematici a scoprire i teoremi che hanno dato loro la fama? Prima di dimostrare un teorema è necessario immaginare, o almeno sospettare, che possa essere vero. Alessandro Zaccagnini ci mostra come potrebbe funzionare la mente di una persona che immagina un nuovo teorema.

Come hanno fatto i grandi matematici a scoprire i teoremi che hanno dato loro la fama? Un caso storicamente ben documentato è quello di Gauss, che ha deliberatamente nascosto i processi mentali che lo hanno portato alle sue scoperte, a vantaggio della cristallina eleganza di alcune delle sue dimostrazioni. Come ha fatto Gauss a immaginare la legge di reciprocità quadratica, Riemann l’equazione funzionale della funzione zeta, Cauchy il teorema dei residui? Ognuno scelga il suo teorema e il suo matematico preferito. Ramanujan era solito dire che le sue idee provenivano in sogno dalla dea Namagiri di Namakkal: possiamo credergli?

Questo breve articolo è dedicato alla parte “euristica” della matematica, nella quale, con argomentazioni non necessariamente impeccabili, si scopre qualche verità matematica, anche se solamente presunta in attesa di una dimostrazione formale e rigorosa. La matematica è una scienza ipotetico-deduttiva solo a posteriori: l’esperienza dei matematici di professione è completamente diversa, se non proprio opposta. Quando possibile, è interessante pensare a come certe strane connessioni fra aree apparentemente distanti della matematica possano essere state scoperte, molto prima che dimostrate.

L’argomentazione che propongo qui è inesorabilmente imprecisa, ma suggerisce una relazione che può essere poi dimostrata in modo piú formale. Veniamo al dunque e parliamo dell’identità di Eulero-de Moivre, che è già stata trattata nella serie su Eulero, precisamente in questo articolo, e che ricordiamo per i lettori più distratti

\[\mathrm{e}^{\alpha \mathrm{i}}
=
\cos(\alpha) + \mathrm{i}\sin(\alpha),\]

Mettiamoci dunque nei panni di uno studente di Analisi 1 alle prime armi, che non ha ben compreso né digerito i metodi di ricerca delle primitive delle funzioni razionali e fa un po’ di confusione (e qualche omissione piú o meno imperdonabile, tipo dimenticare i valori assoluti là dove servono): oltre a ricordare uno degli integrali immediati, e cioè \[\int \frac{\mathrm{d}x}{x^2 + 1}
=
\arctan(x) + k_1,\] sa che può calcolare in questo modo in un caso simile: \[\int \frac{\mathrm{d}x}{x^2 – A^2}
=
\frac1{2 A}
\int \Bigl( \frac1{x – A} – \frac1{x + A} \Bigr) \, \mathrm{d}x
=
\frac1{2 A}
\log \Bigl( \frac{x – A}{x + A} \Bigr) + k_2,\] dove \(k_2\) è una costante opportuna. Questo studente immaginario prende \(A = \mathrm{i}\) (ossia l’unità immaginaria) nella formula precedente (cosa che non è affatto giustificata), e confronta i due risultati ottenuti \[\arctan(x)
=
\frac1{2 \mathrm{i}}
\log \Bigl( \frac{x – \mathrm{i}}{x + \mathrm{i}} \Bigr) + k.\] Ponendo \(x = 0\) trova \(k = – \log(-1) / (2 \mathrm{i})\), qualunque cosa ciò voglia dire, da cui ricava \[\arctan(x)
=
\frac1{2 \mathrm{i}}
\log \Bigl( \frac{\mathrm{i}- x}{\mathrm{i}+ x} \Bigr)
=
\frac1{2 \mathrm{i}}
\log \Bigl( \frac{1 + \mathrm{i}x}{1 – \mathrm{i}x} \Bigr).\] Lo studente applica, senza pensarci troppo su, un procedimento che conosce, ma fuori dal suo ambito di validità, dimentica qualche valore assoluto, usa le proprietà dei logaritmi in un contesto in cui non si sa se siano legittime, ma cionondimeno produce una formula interessante. Sarà valida o no?

Questa relazione ci fa sospettare che possa esserci un legame fra funzioni trigonometriche (inverse) ed esponenziali (inverse anche loro). Per rendere esplicito questo legame e per far poi comparire le funzioni dirette, prendiamo \(x = \tan(\alpha / 2)\) e calcoliamo \[\frac\alpha2
=
\frac1{2 \mathrm{i}}
\log \Bigl( \frac{1 + \mathrm{i}\tan(\alpha / 2)}{1 – \mathrm{i}\tan(\alpha / 2)}
\Bigr).\] Moltiplichiamo numeratore e denominatore per \(\cos(\alpha / 2)\) \[\frac\alpha2
=
\frac1{2 \mathrm{i}}
\log \Bigl( \frac{\cos(\alpha / 2) + \mathrm{i}\sin(\alpha / 2)}
{\cos(\alpha / 2) – \mathrm{i}\sin(\alpha / 2)} \Bigr).\] Moltiplichiamo numeratore e denominatore all’interno del logaritmo per \(\cos(\alpha / 2) + \mathrm{i}\sin(\alpha / 2)\) \[\frac\alpha2
=
\frac1{2 \mathrm{i}}
\log \Bigl( \frac{(\cos(\alpha / 2) + \mathrm{i}\sin(\alpha / 2))^2}
{\cos^2(\alpha / 2) + \sin^2(\alpha / 2)} \Bigr).\] Usiamo l’identità fondamentale della trigonometria e sviluppiamo il numeratore \[\frac\alpha2
=
\frac1{2 \mathrm{i}}
\log \bigl( \cos^2(\alpha / 2) – \sin^2(\alpha / 2) +
2 \mathrm{i}\sin(\alpha / 2) \cos(\alpha / 2) \bigr).\] Usiamo le formule di duplicazione \[\frac\alpha2
=
\frac1{2 \mathrm{i}}
\log \bigl( \cos(\alpha) + \mathrm{i}\sin(\alpha) \bigr).\] Moltiplicando ambo i membri per \(2 \mathrm{i}\) e passando all’esponenziale troviamo infine \[\mathrm{e}^{\alpha \mathrm{i}}
=
\cos(\alpha) + \mathrm{i}\sin(\alpha),\] come si voleva. Si può eseguire il calcolo in modo leggermente diverso ricordando che \(\sin(\alpha) = (1 + \cos(\alpha)) \tan(\alpha / 2)\), come suggerito dalle “formule razionali.”

Questa è una dimostrazione della formula di Eulero-de Moivre? Assolutamente no: per esempio, alcuni dei calcoli a secondo membro non sono validi per \(\alpha = \pi\); però questa argomentazione suggerisce un risultato vero che può essere dimostrato in modo rigoroso con altri strumenti, per esempio con le serie di Taylor.

Torniamo al punto di partenza: nella matematica c’è una parte creativa che riguarda la scoperta delle verità matematiche, che talvolta avviene in modo del tutto casuale o con argomentazioni molto discutibili come quella che ho appena illustrato. È interessante, quando possibile, tentare di ricostruire i processi che hanno portato a queste scoperte, i percorsi seguiti dai matematici per ottenere i loro risultati; poi, ovviamente, è essenziale averne dimostrazioni rigorose e impeccabili, magari eleganti come quelle di Gauss.

Immagine di copertina: Photo by Logan Voss on Unsplash (dettaglio)