Nell’anno accademico 2015/16 presso l’Università di Roma Tre si è svolta la Scuola Astre. L’Alta Scuola Roma Tre (ASTRE) fa parte delle scuole superiori universitarie finanziate dal MIUR. Si tratta di una scuola biennale interdisciplinare: ASTRE riunisce studenti di tutti i corsi di laurea di Roma Tre, professori di Roma Tre e professori, italiani o stranieri, di chiara fama internazionale. Gli studenti, in numero di 40 per biennio, sono scelti, a seguito di domanda di ammissione e per selezione di merito, tra gli iscritti al primo anno dei corsi di laurea magistrale o al quarto dei corsi di laurea quinquennale. Gli studenti di ASTRE partecipano alle iniziative didattiche e scientifiche della Scuola. Ad essi è richiesto un impegno didattico supplementare in aula pari a circa cinquanta ore di lezioni per anno. Gli studenti ammessi alla Scuola ricevono una borsa di studio. Essi inoltre usufruiscono, nel corso del biennio, di diverse facilitazioni, nell’uso delle strutture di Roma Tre, che possano loro permettere un proficuo svolgimento degli studi supplementari a loro richiesti. All’interno di un corso di matematica la prova di esame consisteva nell’elaborazione di alcuni testi scritti a partire dal materiale proposto nel corso. I cinque migliori elaborati avevano la possibilità di essere pubblicati su MaddMaths!. Pubblichiamo il quarto elaborato, di Cristina Vaquero Pineiro, del corso di Laurea in Economia dell’ambiente e dello sviluppo. Gli altri elaborati pubblicati finora li trovate qui. 

Il seguente testo è stato scritto prendendo come riferimento un pubblico giovane in procinto di completare gli studi liceali e pronto ad affacciarsi al mondo universitario. Si presume quindi la loro familiarità con studi di funzione per la ricerca dei valori di massimo e minimo e con il calcolo delle derivate.

L’idea di partenza è provare a spiegare a coloro che decideranno di intraprendere degli studi in ambito economico aziendale  il valore degli esami di matematica, previsti dal piano degli studi,  per i futuri manager. Bisogna scoprire i risvolti pratici e concreti di questa disciplina per comprendere al meglio la sua utilità ed importanza in un ambito di studio e di lavoro apparentemente distante.

Cosa mai dovrà farci un project manager di successo di una funzione f(x) e delle sue derivate?

È questa la domanda a cui proviamo a dare, almeno in parte, una risposta tramite  un esempio concreto.

Dal magazzino di IKEA alla sua credenza: per un project manager è tutta questione di ottimizzazione

Quante volte vi sarà capitato di andare in un grande magazzino come Macy’s a New York e rimanere affascinati dalla quantità di prodotti esposti o di trascorrere una domenica di pioggia all’IKEA e rimanere stupiti dall’ordine compulsivo con cui sono sistemate le confezioni dei mobili che state per acquistare?

Se chiedeste ad un manager come sia possibile non far mancare mai il prodotto richiesto dal cliente, la materia prima necessaria come input del processo produttivo o il semilavorato da spedire ad un’altra azienda vi risponderà che si tratta di una valida ed efficiente gestione del settore della logistica della sua azienda. Ed in effetti, tra i processi logistici interni ed esterni all’azienda, è possibile identificare proprio lo stoccaggio, la gestione delle scorte e del magazzino. Assicurarsi che la maggior parte dei prodotti siano immediatamente disponibili per i clienti e in perfette condizioni, mantenendo bassi i costi, è uno degli obiettivi della gestione aziendale e spesso si trasforma in una vera e propria sfida.

La gestione di un magazzino richiede capacità di pianificare e flessibilità, ma se guardiamo la questione da un altro punto di vista, si trasforma in una questione di ottimizzazione. Di cosa stiamo parlando? Di un modello matematico di programmazione classica vincolata per funzioni di due variabili.

Per capire al meglio come la gestione di un magazzino possa dipendere dalla risoluzione di un problema matematico bisogna partire dalla sua definizione.

In quanto modello riesce a semplificare la realtà e in quanto vincolato prende in considerazione non solo il nostro obiettivo (non far mancare i prodotti e rendere minimi i costi), ma anche i vincoli esistenti nella nostra azienda (capacità fisica del magazzino, costi di stoccaggio).

Successivamente è necessario valutare la tipologia del problema. Il problema che vogliamo analizzare rientra nell’ambito della così definita programmazione classica vincolata con il vincolo esplicitabile. Si tratta cioè di un problema in cui l’obiettivo è quello di ricercare i valori di un vettore $$(x_1,x_2)$$ minimi e massimi locali di una funzione  $$f:D\subseteq{\mathbb R}^2 \to{\mathbb R}$$ in due variabili $$x_1$$ e $$x_2$$ (detta funzione obiettivo) subordinatamente ad alcune condizioni (dette vincoli), esprimibili mediante equazioni lineari nelle variabili prese in considerazione. L’esistenza del vincolo genera inevitabilmente la nascita di un insieme $$X$$, definito area ammissibile, nel quale andare a cercare le soluzioni ottime. L’insieme del valori $$X= \{x_1, x_2\in{\mathbb R}^2|g (x_1,x_2)=b\}\cap{D}$$ si definisce insieme ammissibile mentre $$D$$ è il dominio della funzione.

Ricorrendo alla formalizzazione di ciò che abbiamo spiegato, il problema diviene:

$$min/max_{g (x_1,x_2)=b} f(x_1,x_2)$$

Il fatto che il vincolo sia esplicitabile significa che è possibile ricondurre il problema ad uno di ottimizzazione libera: dall’equazione del vincolo si può estrarre una delle due variabili così da renderla dipendente da quella rimanente. Esplicitata la variabile prescelta si sostituisce nella funzione obiettivo e si procede con il calcolo della derivata prima e lo studio del segno in modo da giungere alla soluzione.

Un punto $$x^\ast$$ è  un minimo (o massimo) locale vincolato per la funzione obiettivo se è contenuto nell’area ammissibile e se esiste un intorno di raggio $$x^\ast$$ in cui risulta che per tutti gli altri punti in esso contenuti la funzione assume valori maggiori ( o minori).

Torniamo però al nostro magazzino e cerchiamo di formalizzare il suo problema seguendo le linee guida del caso generale descritto precedentemente.

Supponiamo che l’azienda necessita annualmente di una quantità A di un prodotto, che faccia ordini per la consegna di una quantità pari a $$x$$ e rinnovi l’ordine $$n$$ volte l’anno nel momento in cui le scorte si azzerano.

Per impostare il problema e studiare l’andamento delle scorte bisogna imporre come prima cosa alcune ipotesi semplificatrici:

1. Consumo  costante per ogni unità di tempo: la quantità di materie prime ordinata  è  sempre la stessa e le ordinazioni vengono fatte ad intervalli regolari
2. Tempi di consegna pari a zero: le consegne avvengano subito dopo l’ordinazione, rendendo possibile effettuare quest’ultima al momento dell’esaurimento delle scorte
3. Prezzi di acquisto costanti nel tempo: non sono influenzati dall’acquisto di maggiori o minori quantità di merce

L’andamento delle scorte risulterà quindi discontinuo e periodico e sarà rappresentato da un grafico come quello qui riportato.

L’impresa dovrà dunque decidere la quantità ottima  $$x^\ast$$ da ordinare ogni volta e, di conseguenza il numero n di ordinazioni da effettuare in un certo periodo di tempo T affinché il costo totale sia minimo.

Per costruire la funzione obiettivo prendiamo in considerazione:

• n numero ordini
• x quantità ottima
• A fabbisogno complessivo della merce
• $$C_0$$ costo fisso per ogni ordinazione
• $$C_1$$ costo di immagazzinaggio per una singola unità

Intuitivamente i costi totali sostenuti dall’azienda dipenderanno quindi da $$x$$ e $$n$$.

$$C(x,n)=C_0{n}+{C_1}{x/2}$$

Osservando la formula può sembrare opportuno chiedersi perché $$x$$ sia stato diviso per 2. Riprendendo il grafico dell’andamento delle scorte si evince che la giacenza non è costante nel tempo ed è quindi necessario calcolare la giacenza media che risulterà pari a $$(x+0)/2$$.

Il nostro problema da risolvere potrà quindi essere così formalizzato:

$$ min_{xn=A,\ x,n\geq0}C_0{n}+{C_1}{x/2}$$

Minimizzare, quindi ricercare il valore minore, i costi totali rispettando il vincolo di uguaglianza per cui la quantità ordinata per il numero di ordini deve essere pari al fabbisogno complessivo dell’azienda con x e n entrambe non negative.

Con le opportune operazioni (si scrive $$n=A/x$$ si inserisce nella funzione costo e si fa la derivata per trovare il minimo) è possibile concludere che analiticamente i costi minimi si avranno con un numero di ordini ottimo

$$n=\sqrt{C_1A/2C_0}$$

e con la quantità ottima

$$x^\ast={2C_0A/C_1}$$

 

I risultati matematici trovano, ovviamente, un significato anche dal punto di vista economico in quanto sono sicuramente funzioni matematiche, ma rappresentano pur sempre i costi sostenuti dalla nostra azienda per la gestione del magazzino. Il magazzino deve essere infatti interpretato come un importante segmento della catena di fornitura che è condizionato e condiziona le strategie e le operazioni aziendali.

Nel grafico sono presenti sia la curva dei costi di “giacenza” (di ordinazione) $$C_0$$ che quella dei costi di riordino $$C_1$$. I costi totali avranno un andamento prima decrescente fino ad un valore minimo per poi iniziare a crescere dal momento i cui i costo di giacenza supera quello del riordino. Il minimo della curva dei costi totali si troverà proprio in corrispondenza della soluzione ottima per cui alle quantità di riordino ottimale Q* corrisponderà il minimo dei costi totali.

Il nostro manager a questo punto, grazie al supporto matematico, conosce sia il numero ottimale degli ordini da effettuare che le quantità da ordinare. Bisogna però sempre ricordarsi che la matematica, così come i software sempre più usati nelle discipline matematico statistiche, sono dei validi aiuti per una risoluzione precisa dei problemi, ma non sono in grado di conoscere la vera realtà aziendale. Per un’azienda il numero degli ordini deve essere intero poiché suddividere l’oggetto che stiamo ordinando è irrealistico. Il numero ottimo degli ordini soluzione invece del problema matematico può essere invece un numero decimale.

Per risolvere questo diverbio tra realtà aziendale e matematica bisogna partire da una domanda: quanto vivrà ancora la nostra azienda?

Nel caso in cui la nostra azienda sia nella condizione di continuare la sua attività oltre al periodo considerato l’ordine ottimo da effettuare diventerà: $$n\ast+1$$. Si ordina cioè una quantità in eccesso che  ridurrà il fabbisogno relativo all’anno successivo.

Nel caso, invece, in cui si trovi di fronte ad un’attività che si interrompe al tempo T (per esempio non necessita più di quella materia prima, non vende più quel bene finito) bisogna aggiungere un secondo vincolo al nostro problema per il quale il numero n degli ordini deve obbligatoriamente essere un numero intero.

Ovviamente, infine, il manager pianifica mentalmente la disposizione degli scaffali e degli scomparti  poiché non ha a disposizione uno spazio infinito e per di più necessita di un ambiente dinamico nel quale sia possibile riorganizzare  le superfici a seconda delle esigenze future. Il magazzino avrà  quindi una capacità di contenimento pari ad N e anche in questi caso la matematica è in grado di tradurre questa esigenza gestionale tramite l’imposizione di un ulteriore vincolo per il quale la merce x ordinata dovrà essere minore o uguale ad N.

I “confini” del magazzino oggi sono spesso divenuti internazionali frutto di scelte di delocalizzazione del processo produttivo creando una vera e propria rete di scambi in movimento. In ogni caso il nostro manager è comunque riuscito ad avere un modello matematico che gli  permette di semplificare la realtà tramite un processo di astrazione attraverso cui riuscire a gestire le scorte in relazioni alle loro caratteristiche peculiari.  

Ma come avrebbe fatto senza la matematica?

E se è vero che la matematica aiuta a semplificare la vita e che il magazzino è sinonimo di ordine perché non applicare questo modello alla nostra dispensa invece di lasciar prendere il sopravvento a scatole e scatolette?

Cristina Vaquero Pineiro