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Una torta è divisa tra \(100\) invitati. Il primo ne riceve l’\(1\%\), il secondo il \(2\%\) del restante, in generale l’invitato \(i\)-mo riceve l’\(i\%\) del restante. L’ultimo riceve quindi il \(100\%\) di quel che resta, cosı̀ la torta viene consumata totalmente. Chi riceve la fetta di torta più grande? Rispondiamo a un problema posto da un lettore.

Ci scrive il lettore Gianfanco Speronello: “Sono pensionato già da qualche anno, ma con la passione per la matematica. Tempo fa mi è stato sottoposto un problema che ho risolto a modo mio, ma non sono riuscito a dimostrare che la mia formula è matematicamente corretta. Resto in attesa di eventuale riscontro da parte vostra per la dimostrazione ringraziando per la collaborazione.”

Il problema non è affatto banale, come vedrete, anche se si risolve usando strumenti matematici elementari, e vi invitiamo a cercare una soluzione in autonomia prima di leggere la nostra (anche perché probabilmente esisteranno altre strategie di risoluzione). Intanto lo riformuliamo in modo generale per \(n\) invitati.

Formulazione generale. Una torta è divisa tra \(n\) invitati. Il primo riceve \(1/n\) del totale, il secondo \(2/n\) del restante, in generale l’invitato \(i\) riceve \(i/n\) del restante. L’ultimo riceve \(n/n\) di quel che resta, cosı̀ la torta viene consumata totalmente. Chi riceve la fetta di torta più grande?

Facciamo un esempio: se ci sono \(3\) persone, la prima prenderà \(1/3\) del totale, la seconda prenderà \(2/3\) dei restanti \(2/3\), ovvero \(4/9\), l’ultimo prenderà quel che resta, ovvero \(2/9\) di torta. Il secondo sarà quello a mangiare di più.

Indizio

Ci aspettiamo che inizialmente la quantità di torta presa continui ad aumentare invitato dopo invitato, dato che si prendono percentuali sempre più grandi da una torta che è quasi intera. Da un certo punto in poi però, anche se la percentuale presa è molto grande, non rimane granché da mangiare e quindi la quantità effettiva presa diminuirà…

Soluzione proposta da Gianfanco Speronello

Clicca per leggerla

Se gli invitati sono \(100\), allora sarà il decimo a mangiare di più e, in generale, se gli invitati sono \(n\), sarà l’invitato con il numero intero più vicino alla radice di \(n\) a mangiare di più. Ad esempio con \(50\) invitati, sarà l’invitato \(7\), dato che \(\sqrt{50}\sim7.07\).

La nostra spiegazione (necessariamente con qualche formula)

Nel seguito trovate la spiegazione di come si può dimostrare. Cliccate per vedere la soluzione, ma prima … provateci da soli!

Quantità di torta per ogni invitato

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La prima parte del problema consiste nel calcolare, per ogni invitato \(i\), la quantità di torta \(q_{i}\) che riceve. Possiamo descrivere il problema in formule con la seguente successione per ricorrenza: \[\begin{cases} q_{1}=\frac{1}{n},\\ q_{i}=\frac{i}{n}\left(1-\sum_{k=1}^{i-1}q_{k}\right) & \text{per } i=2,\ldots,n. \end{cases}\] Calcolando a mano i primi \(q_{i}\), si può immaginare che la soluzione consista nella seguente quantità: \[q_{i}=\frac{i\left(n-1\right)\left(n-2\right)\ldots\left(n-i+1\right)}{n^{i}}=\frac{i\left(n-1\right)!}{\left(n-i\right)!n^{i}}.\] Per dimostrare che questa è la scelta giusta si può usare l’induzione, tenendo conto che: \[\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{\left(n-k\right)!n^{k}}=\frac{1}{\left(n-1\right)!}.\]

Chi ha il pezzo più grosso?

Per calcolare quale invitato riceve la quantità maggiore è necessario calcolare per quale \(i\) la quantità \(q_{i}\) è massima. Come detto a inizio articolo, ci aspettiamo che la quantità \(q_{i}\) aumenti inizialmente al variare di \(i\), dato che la torta è ancora quasi intera e ognuno prende una percentuale maggiore del precedente. Quando \(i\) diventa abbastanza grande però, è vero che la percentuale di torta presa è grande, ma la torta che resta è sempre meno, quindi la quantità effettiva diminuirà. L’esempio per \(n=3\) illustra bene la situazione:

  • il primo prende \(1/3\) del totale;
  • il secondo prende i \(2/3\) del rimanente \(\left(1-1/3\right)\), ossia \(4/9\), che è più di quanto abbia preso il primo;
  • il terzo prende tutto il restante, che è di soli \(2/9\), meno di tutti gli altri.

Di seguito la nostra proposta di soluzione.

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In generale, proviamo a vedere se la successione dei \(q_{i}\) ha il comportamento descritto (cresce per poi decrescere) risolvendo l’equazione, per \(k\) generico da \(1\) a \(n-1\) (e supponendo che \(n\geq2\)): \[q_{k+1}-q_{k}\ge0,\] \[\frac{\left(k+1\right)\left(n-1\right)!}{\left(n-k-1\right)!n^{k+1}}-\frac{k\left(n-1\right)!}{\left(n-k\right)!n^{k}}\geq0.\] Si può mettere in evidenza e semplificare la quantità positiva \((n-1)!\): \[\frac{k+1}{\left(n-k-1\right)!n^{k+1}}-\frac{k}{\left(n-k\right)!n^{k}}\geq0.\] Possiamo scrivere \(n^{k+1}\) come \(n\cdot n^{k}\) e \(\left(n-k\right)!=\left(n-k\right)\left(n-k-1\right)!\) e quindi mettere in evidenza: \[\frac{1}{\left(n-k+1\right)!n^{k}}\left[\frac{k+1}{n}-\frac{k}{n-k}\right]\ge0.\] Svolgendo i calcoli e semplificando le quantità positive, si ottiene la disequazione seguente: \[\left(n-k\right)\left(k+1\right)-nk\ge0,\] che si semplifica in \[k^{2}+k-n\le0.\] Poiché \(k\) deve essere positivo (e minore di \(n\)), questa disequazione ha soluzione: \[k\le\frac{\sqrt{4n+1}-1}{2}.\] Riassumendo, fintanto che \(k\) è minore del valore soglia \(\left(\sqrt{4n+1}-1\right)/2\), il valore di \(q_{k+1}\) è maggiore o uguale a quello di \(q_{k}\), poi comincia ad esser minore. La successione si comporta quindi come immaginavamo, e il valore di \(k\) che assume il massimo è pari a (indicando con \(\left\lfloor \cdot\right\rfloor\) la parte intera inferiore del numero): \[i_{max}=\left\lfloor \frac{\sqrt{4n+1}-1}{2}\right\rfloor +1.\] Nel caso \(n=100\) ad esempio, l’invitato che riceve più torta è il decimo, infatti: \[i_{max}=\left\lfloor \frac{\sqrt{400+1}-1}{2}\right\rfloor +1=\left\lfloor 9.51\ldots\right\rfloor +1=9+1=10.\] Il valore ottenuto di \(i_{max}\) sembrerebbe differente da quello mostrato nella soluzione, che è pari all’intero più vicino a \(\sqrt{n}\), ossia \(\left[\sqrt{n}\right]\), indicando con \(\left[\cdot\right]\) la funzione di arrotondamento. In realtà si può mostrare come i due numeri siano lo stesso.

Proposizione.  Il valore \(i_{max}\) è uguale all’intero più vicino a \(\sqrt{n}\): \[\left\lfloor \frac{\sqrt{4n+1}-1}{2}\right\rfloor +1=\left[\sqrt{n}\right].\]

Premettiamo un risultato iniziale. Sia definito \[x:=\sqrt{n}-\frac{\sqrt{4n-1}-1}{2},\] che, dopo qualche conto, diventa la quantità seguente: \[x=\frac{1+2\sqrt{n}}{2\sqrt{n}+1+\sqrt{4n-1}}.\] Tramite semplici passaggi, che omettiamo, si può mostrare che, per ogni \(n\ge1\), vale:

\[\frac{1}{2}<x<1.\label{limiti x}\ \ \ \ \ \ (1)\]

La dimostrazione della proposizione è divisa in due parti: poiché la \(\sqrt{n}\) è necessariamente compresa tra \(\left\lfloor \sqrt{n}\right\rfloor\) e \(\left\lfloor \sqrt{n}\right\rfloor +1\), separiamo i casi seguenti:

\[\sqrt{n}-\left\lfloor \sqrt{n}\right\rfloor <\frac{1}{2}\ \ \ \ \ \ (2)\]

\[\sqrt{n}-\left\lfloor \sqrt{n}\right\rfloor >\frac{1}{2}\ \ \ \ \ \ (3)\]

Nel primo caso l’intero più vicino alla \(\sqrt{n}\) coincide con la sua parte intera, quindi \[\left[\sqrt{n}\right]=\left\lfloor \sqrt{n}\right\rfloor .\] In questo caso vogliamo dimostrare che:

\[\left\lfloor \frac{\sqrt{4n-1}-1}{2}\right\rfloor =\left\lfloor \sqrt{n}\right\rfloor -1.\ \ \ \ \ \ (4)\]

Per definizione di \(x\), \[\left\lfloor \frac{\sqrt{4n-1}-1}{2}\right\rfloor =\left\lfloor \sqrt{n}-x\right\rfloor .\] La quantità a destra è compresa, usando (1), tra: \[\sqrt{n}-1<\sqrt{n}-x<\sqrt{n}-\frac{1}{2}.\] Per l’ipotesi iniziale (2): \[\sqrt{n}-1<\sqrt{n}-x<\left\lfloor \sqrt{n}\right\rfloor ,\] e passando alle parti intere otteniamo: \[\left\lfloor \sqrt{n}-1\right\rfloor \le\left\lfloor \sqrt{n}-x\right\rfloor <\left\lfloor \left\lfloor \sqrt{n}\right\rfloor \right\rfloor ,\] cioè \[\left\lfloor \sqrt{n}\right\rfloor -1\le\left\lfloor \sqrt{n}-x\right\rfloor <\left\lfloor \sqrt{n}\right\rfloor ,\] da cui la tesi (4), in quanto \(\left\lfloor \sqrt{n}-x\right\rfloor =\left\lfloor \sqrt{n}\right\rfloor -1.\) Nel secondo caso l’intero più vicino a \(\sqrt{n}\) è la sua parte intera aumentata di \(1\), ovvero: \[\left[\sqrt{n}\right]=\left\lfloor \sqrt{n}\right\rfloor +1.\] In questo caso vogliamo dimostrare che:

\[\left\lfloor \frac{\sqrt{4n-1}-1}{2}\right\rfloor =\left\lfloor \sqrt{n}\right\rfloor .\ \ \ \ \ \ (5)\]

Dalla definizione di \(x\), sappiamo che \[\frac{\sqrt{4n-1}-1}{2}<\sqrt{n}\] e che quindi \[\left\lfloor \frac{\sqrt{4n-1}-1}{2}\right\rfloor \le\left\lfloor \sqrt{n}\right\rfloor .\] Se per assurdo non fosse vera la tesi (5), ovvero se \(\left\lfloor \frac{\sqrt{4n-1}-1}{2}\right\rfloor\) fosse diverso da \(\left\lfloor \sqrt{n}\right\rfloor\), per l’osservazione appena fatta risulterebbe che: \[\left\lfloor \frac{\sqrt{4n-1}-1}{2}\right\rfloor <\left\lfloor \sqrt{n}\right\rfloor ,\] ovvero che \[\frac{\sqrt{4n-1}-1}{2}<\left\lfloor \sqrt{n}\right\rfloor .\] Dall’ipotesi (3), possiamo scrivere che: \[\frac{\sqrt{4n-1}-1}{2}<\left\lfloor \sqrt{n}\right\rfloor <\sqrt{n}-\frac{1}{2}.\] Svolgendo qualche conto, si arriva alla disuguaglianza seguente: \[\sqrt{n}-\frac{1}{4}<n-\left\lfloor \sqrt{n}\right\rfloor ^{2}<\sqrt{n-\frac{1}{4}}.\] Il termine centrale è un intero. La parte intera del termine di sinistra è uguale a \(\left\lfloor \sqrt{n}\right\rfloor\), quella del termine di destra è invece minore o uguale di \(\left\lfloor \sqrt{n}\right\rfloor\): \[\left\lfloor \sqrt{n}\right\rfloor <n-\left\lfloor \sqrt{n}\right\rfloor ^{2}\le\left\lfloor \sqrt{n}\right\rfloor ,\] ma questo è assurdo, e per questo vale la tesi (5). La proposizione è dimostrata e abbiamo quindi che \(i_{max}=\left[\sqrt{n}\right]\).

Davide Palmigiani

[Ringraziamo Gabriella Paoli per il contributo essenziale alla risoluzione della Proposizione contenuta nel testo.]

 

 

Davide Palmigiani

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