Alessandro Zaccagnini ci propone un suo “Dialogo sui numeri primi”, un esercizio di stile in cui cercherà di parlare dei numeri primi in modo interessante senza usare formule, o quasi. Nel dialogo, che qui presentiamo a puntate, o meglio “giornate”, troveremo tre personaggi presi a prestito da Galileo: Salviati, che è un copernicano (un teorico dei numeri analitico), Sagredo, che è un patrizio (un matematico di un altro settore), e Simplicio, che è un tolemaico (un dilettante). Questa è la Giornata quinta, nella quale si discute della quantità dei numeri primi. Tutte le puntate le trovate sempre a questo link.

Giornata quinta, nella quale si discute della quantità dei numeri primi

Salviati. In questa quinta giornata discuteremo finalmente di quanto sono “densi” i numeri primi nell’insieme dei numeri interi. Abbiamo visto un procedimento per determinarli in modo efficiente, il crivello di Eratostene, ma non abbiamo idea di quanti sono gli interi che restano una volta eliminati i numeri composti.

Sagredo. In effetti, la nostra discussione precedente non ci permette di concludere nemmeno che i numeri primi sono infiniti. E anche se sapessimo che sono infiniti, ancora non abbiamo idea se sono “rari” o “frequenti.”

Simplicio. Sagredo, cosa intendi dire con rari o frequenti?

Sagredo. Per esempio, metà dei numeri interi sono pari, l’altra metà dispari. Possiamo dire che la densità di ciascuno di questi insiemi è \(\frac12\).

Salviati. Se contiamo i numeri primi che non superano \(N\), ci possiamo chiedere quanti sono.

Simplicio. Ieri mi hai convinto del fatto che possiamo usare il crivello di Eratostene, o le sue varianti piú recenti.

Salviati. Ora ci stiamo facendo una domanda diversa: immaginiamo di far crescere \(N\) senza limiti, e ci chiediamo se possiamo “prevedere” quanti numeri primi ci sono fra 1 ed \(N\), anche se \(N\) supera molto le attuali o future capacità di calcolo delle nostre macchine.

Sagredo. Se torniamo ai numeri pari: fino ad \(N\) ci sono circa \(N / 2\) numeri pari.

Salviati. Se prendiamo i quadrati perfetti, o le potenze di 2, o i numeri fattoriali, possiamo trovare formule piú o meno semplici che ci dicono quanti di questi numeri non superano un intero grande \(N\), eventualmente con un “piccolo” errore.

Simplicio. In che senso, un “piccolo errore”?

Salviati. La cosa a cui alludeva Sagredo un istante fa. Se vuoi contare quanti sono i numeri pari che non superano un dato intero \(N\), la risposta è \(N / 2\) se \(N\) è pari, \((N – 1) / 2\) se \(N\) è dispari.

Sagredo. Quindi conviene dire, per brevità, che la risposta è approssimativamente \(N / 2\), e c’è un “piccolo” errore che non supera \(1 / 2\), in valore assoluto.

Salviati. Oppure puoi esprimere la stessa cosa mediante la parte intera, ma ottieni una formula leggermente piú complicata senza un grosso vantaggio pratico.

Sagredo. Analogamente, se vuoi sapere quanti quadrati perfetti non superano il numero intero positivo \(N\) puoi dare una formula esatta con radice quadrata e parte intera oppure dire piú semplicemente che il numero cercato è la radice quadrata di \(N\) con un errore che non supera 1 in valore assoluto.

Simplicio. E per i numeri primi?

Salviati. La situazione è ovviamente molto piú complicata. Qui non ci aspettiamo piú una risposta esatta, ma cerchiamo una cosa un po’ diversa: una funzione “semplice” che ci dica quanti sono i numeri primi che non superano \(N\), e un errore “tollerabile.”

Simplicio. Ma cosa vuol dire “semplice”? E chi decide che l’errore è “tollerabile”?

Salviati. Rem acu tetigisti, Simplicio. È quello che cercheremo di discutere quest’oggi.

Sagredo. Visto che la nostra chiacchierata andrà avanti per le lunghe, oggi, vi invito a fare una breve pausa per un buon caffè.

[Una mezz’ora e vari caffè più tardi]

Simplicio. E allora, veniamo al dunque: quanto sono rari i numeri primi?

Salviati. Euclide ha dimostrato che sono infiniti, ma senza dare indicazioni quantitative.

Sagredo. Simplicio, conosci la dimostrazione? Il grande matematico G.H. Hardy l’ha definita una delle due perle della matematica greca.

Simplicio. C’era nel libro che ho letto, penso, ma non me la ricordo.

Salviati. Poco male, è molto breve. Pensa ad una lista finita di numeri primi.

Simplicio. Non saprei. Per esempio 2, 7, 11.

Salviati. Benissimo. Moltiplicali fra loro e aggiungi 1 al prodotto.

[Simplicio prende un foglio e una penna e si mette a fare dei calcoli.]

Simplicio. 155.

Salviati. Ora scomponi il risultato in fattori primi. Ricordati che ogni intero si scompone in modo unico come prodotto di numeri primi.

[Simplicio ci pensa su e fa altri calcoli.]

Simplicio. 155 è 5 per 31.

Sagredo. Come vedi, Simplicio, i numeri primi che hai trovato ora non sono nella lista iniziale.

Simplicio. Infatti, non ci sono. Come mai?

Sagredo. Perché se dividi 155 per 2, 7 o 11 trovi sempre il resto 1, e quindi 155 non è divisibile per nessuno dei numeri primi da cui sei partito.

Simplicio. E già, è proprio cosí come dici.

Salviati. In generale, se hai una lista finita di numeri primi, puoi generare altri numeri primi seguendo questa ricetta: moltiplica fra loro tutti i numeri della tua lista, aggiungendo 1 al prodotto e poi scomponendo in fattori il risultato finale. Nessuno dei fattori primi cosí ottenuti è nella lista iniziale, per lo stesso motivo che dicevamo un minuto fa.

Sagredo. Quindi la lista finita da cui sei partito non può contenere tutti i numeri primi e i numeri primi sono infiniti. Quod erat demonstrandum.

Salviati. A parte il fatto che probabilmente Euclide avrebbe preferito dire che l’insieme dei numeri primi è illimitato, piuttosto che usare la parola infinito.

Simplicio. Stavo per farti una domanda ma credo di sapere già la risposta.

Salviati. Falla lo stesso.

Simplicio. Stavo per chiederti perché non si usa questo metodo per generare numeri primi grandi, ma poi mi sono ricordato che ieri mi hai spiegato che scomporre in fattori primi è un problema difficile.

Salviati. Precisamente. Questo metodo serve solo a dimostrare che nessuna lista finita può contenere tutti i numeri primi.

Sagredo. E non dà qualche informazione sulla densità dei numeri primi?

Salviati. Molto debole, quasi nessuna in effetti, oltre al fatto che sono infiniti. Il passo avanti decisivo è stato fatto circa venti secoli dopo Euclide.

Sagredo. Chi è stato?

Salviati. Eulero, naturalmente, e la sua dimostrazione è una pietra miliare della Teoria Analitica dei Numeri.

Simplicio. Cosa ha dimostrato Eulero di tanto importante?

Salviati. Eulero ha avuto l’idea fondamentale che per capire i numeri primi è necessario avere il coraggio di uscire dall’ambiente “naturale” e contaminare, per cosí dire, l’aritmetica con altre parti della matematica. In questo caso, con l’analisi matematica. Vedi, la matematica non è fatta a compartimenti stagni.

Simplicio. Ma cosa c’entra l’analisi matematica, le derivate e gli integrali, con i numeri primi?

Salviati. A priori, non molto. In effetti, Eulero ha dimostrato che una certa serie, fatta con i reciproci dei numeri primi, è divergente.

Sagredo. La serie armonica fatta solo con i numeri primi?

Salviati. Esatto.

Sagredo. Resta divergente anche se ci mettiamo solo i numeri primi? Veramente sorprendente!

Salviati. Lo puoi dire forte. È uno dei punti di svolta della teoria dei numeri moderna.

Simplicio. Cos’è la serie armonica?

Sagredo. Sai cos’è una serie numerica?

Simplicio. Molto vagamente.

Sagredo. È la somma di infiniti addendi.

Simplicio. Ma non è automaticamente infinita, questa somma?

Sagredo. No, non necessariamente. Una somma infinita di numeri interi positivi è infinita, ma se pensi, per esempio, al numero decimale periodico \(0.33333\dots\), non è altro che la somma di \(3/10\), \(3/100\), \(3/1000\), e cosí via.

Simplicio. Giusto, e vale \(1 / 3\), come tutti sanno.

Sagredo. Quindi, la somma di infiniti numeri positivi può essere finita o infinita; dipende dai casi.

Simplicio. Ho capito.

Sagredo. Per esempio, se sommi \(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + \cdots\), il risultato è infinito.

Simplicio. È difficile da dimostrare?

Sagredo. No, è un esercizio che si fa nel corso di base di analisi matematica. Ma non sapevo, fino a pochi minuti fa, che la somma resta infinita anche se elimini tutti i numeri composti.

Salviati. È un risultato bellissimo che vale senz’altro la pena di conoscere.

Sagredo. Immagino che la dimostrazione sia molto complicata.

Salviati. Non è altrettanto semplice della dimostrazione della divergenza della serie armonica, ma è alla portata di uno studente del primo anno del corso di laurea in matematica. Si usa il teorema fondamentale dell’aritmetica, che abbiamo ricordato nella giornata prima, la somma di una serie geometrica come quella che hai menzionato a Simplicio un minuto fa, la formula di Taylor al primo ordine per la funzione logaritmo e la divergenza della serie armonica.

Sagredo. Quindi, tutto sommato, gli ingredienti sono tutti abbastanza semplici.

Salviati. Semplici, sí, ma combinati in modo molto ingegnoso.

Sagredo. E, in un certo senso, questo risultato dice che i numeri primi non possono essere troppo radi.

Simplicio. Non capisco cosa c’entrano queste due cose.

Sagredo. [A parte] Ti pareva …

Salviati. Prova a pensare al numero decimale periodico \(0.11111\dots\)

Simplicio. Vale \(1 / 3\) di quello di cui parlavamo prima, e quindi \(1 / 9\).

Salviati. Precisamente. Ragionando come prima, stiamo sommando \(1 / 10\), \(1 / 100\), \(1 / 1000\) e cosí via.

Simplicio. Sí, possiamo pensare in questo modo.

Sagredo. I numeri 10, 100, 1000, …, sono le potenze di 10 e formano una progressione geometrica. Come vedi, ogni termine è 10 volte il precedente, e la distanza tra due termini consecutivi aumenta molto rapidamente.

Simplicio. Dunque le potenze di 10 sono “rade,” come dici tu?

Sagredo. Sí. Se invece di una progressione geometrica prendi la progressione aritmetica dei multipli di 10, e cioè 10, 20, 30, 40, …, la serie corrispondente \(1 / 10 + 1 / 20 + 1 / 30 + 1 / 40 + \cdots\) risulta divergente.

Simplicio. E infatti la distanza tra due termini consecutivi rimane sempre la stessa.

Sagredo. Cioè i termini non si diradano.

Simplicio. Ah, ora ho capito cosa volevi dire.

Salviati. Per quanto riguarda i numeri primi sappiamo che devono diradarsi un po’, naturalmente in modo molto irregolare, ma Eulero ha dimostrato che nonostante tutto la serie armonica formata con i soli numeri primi diverge ad un tasso che risulta compatibile con una famosa congettura sull’ordine di grandezza dell’ennesimo numero primo.

Simplicio. E quale sarebbe?

Salviati. Ieri abbiamo parlato di formule esatte per i numeri primi, e abbiamo detto che al momento attuale non conosciamo nessuna formula che sia simultaneamente esatta e semplice da calcolare. Se rinunciamo all’esattezza, già nel diciottesimo secolo è stata fatta l’ipotesi che l’ennesimo numero primo \(p_n\) sia approssimativamente uguale a \(n \log(n)\) [dove \( \log(n)\) sta per il logaritmo naturale di n]

Sagredo. E quindi i numeri primi sono abbastanza densi.

Salviati. Se ci pensi, fino a 1000 un intero su 6 è primo, e fino a \(10^{27}\) circa uno su 61.

Sagredo. L’ipotesi che hai appena citato è stata dimostrata?

Salviati. Equivale al Teorema dei Numeri Primi, di cui dobbiamo ancora parlare. Come dicevo, questa formula approssimata per l’ennesimo numero primo è pienamente compatibile con la formula scoperta da Eulero, nel senso che la implica ma non ne è una conseguenza.

Simplicio. Ci sono altri modi per ottenere informazioni quantitative sui numeri primi, oltre a quello scoperto da Eulero?

Salviati. Naturalmente oggi le nostre conoscenze sui numeri primi sono molto aumentate rispetto ai tempi di Eulero, anche per merito suo perché ha dato inizio alla Teoria Analitica dei Numeri, proprio con il risultato che abbiamo appena discusso. Domani parleremo del Teorema dei Numeri Primi e dell’introduzione dell’analisi complessa.

Simplicio. È proprio necessaria l’analisi complessa?

Salviati. Abbi pazienza fino a domani.

Sagredo. Sí, Simplicio, siamo arrivati all’ora di pranzo ed è il momento giusto per sospendere la nostra discussione.

Fine della quinta giornata