Maurizio Codogno, meglio noto in rete come .mau., racconta come lui vede la matematica, con la scusa di non doverla insegnare né crearne di nuova. È davvero necessario avere a disposizione tutti gli operatori matematici? No: se ne può costruire uno che insieme alla costante 1 ci permette di ottenerli tutti.

Immaginate di dover costruire una calcolatrice elettronica minimalista. Potete usare tutta la circuiteria che volete, ma dato che c’è una penuria di tasti dovreste averne il meno possibile. E visto che volete strafare, volete che in un modo o nell’altro possiate ottenere tutte le costanti e le funzioni matematiche standard usando solo quei tasti. Non solo le quattro operazioni, insomma, ma anche radici quadrate, esponenziali, logaritmi, le funzioni trigonometriche e iperboliche e finanche l’addizione pitagorica e la sigmoide \(σ(x) = \frac{1}{1 + e^{−x}}\). (Le parentesi non ci servono, basta cambiare l’ordine delle operazioni come nella notazione polacca inversa che le calcolatrici HP usavano quando ero giovane io). Quanti tasti servono? La risposta, trovata dal fisico polacco Andrzej Odrzywołek, è 2. Sì, due. A meno di due non si può scendere, visto che occorre per forza avere una costante da cui partire e una funzione (o un operatore) per generare altri valori.

La costante che permette tutto questo è 1, e fin qui magari lo si poteva immaginare. La funzione “maggica” è invece questa:

\( \textrm{eml}(x, y) = \exp(x) − \ln(y) \)

dove exp è la funzione esponenziale e ln il logaritmo naturale. Il nome misterioso “eml” dell’operatore non è altro che Esponenziale Meno Logaritmo, che tra l’altro ha il vantaggio di essere un acronimo che funziona anche in italiano e non solo in inglese.
Chi ha studiato informatica sa che ci sono vari tipi di porte logiche, cioè circuiti che hanno in ingresso una o due variabili binarie e in uscita un valore, sempre binario, funzione del circuito. Così abbiamo per esempio AND, che ha valore di uscita 1 se e solo se entrambi i valori di ingresso sono 1 e valore 0 altrimenti, oppure XOR, che ha valore di uscita 1 se uno solo dei valori di ingresso è 1 mentre l’altro è 0, e valore 0 se i due valori di ingresso sono identici. In questo caso è teoricamente possibile usare solo una porta NAND (con valore di uscita 1 a meno che entrambi gli ingressi siano 1) e ottenere tutte le altre porte. Però in quel caso c’erano molte meno funzioni da ottenere e input e output sono minimi; riuscire a farlo con gli operatori matematici è incredibile.

Come si fa a ottenere tutte le funzioni (e le costanti) solo con eml e 1? La figura qui sopra, presa dall’articolo di Odrzywołek, raffigura il percorso, spesso tortuoso, necessario. Ecco alcuni passi, come spiegati dall’autore stesso in un articolo parallelo:

e = eml(1,1)
exp(x) = eml(x, 1)
ln(x) = eml(1, exp(eml(1,x)
x – y = eml (ln(x), exp(y)
–1 = ln(1) – 1
2 = 1 – (–1)
–x = ln(1) – x
x + y = x – (-y)
1/x = exp(–ln(x))
x × y = exp(ln(x)+ln(y))
x / y = x × (1/y)
√x = exp(ln(x)/2)
π = √(–((ln(–1)) × (ln(–1)))
σ(x) = 1/ eml(–x,exp(–1))
cosh(x) = (exp(x) + exp(–x))/2

Le altre funzioni iperboliche sono facilmente ricavabili dal coseno iperbolico, e quelle trigonometriche dalle iperboliche. Come dice Lukasz Olejnik, ora possiamo evitare di scrivere π e usare semplicemente l’espressione
E(E(E(1,E(E(1,E(1,E(E(1,E(E(1,E(E(1,E(1,E(E(1,1),1))),1)),E(E(E(E(E(1,E(E(1,E(1,E(E(1,E(E(E(1,E(E(1,E(1,E(E(1,1),1))),1)),E(E(1,E(E(1,E(E(1,E(E(1,1),1)),E(E(E(1,E(E(1,E(1,E(E(1,1),1))),1)),E(1,1)),1))),1)),1)),1)),1))),1)),E(E(E(1,E(E(1,E(1,E(E(1,1),1))),1)),E(E(1,E(E(1,E(1,E(E(1,E(E(1,E(E(1,E(1,E(E(1,1),1))),1)),E(1,1))),1))),1)),1)),1)),1),1),1))),1))),1)),E(E(E(1,E(E(1,E(1,E(E(1,1),1))),1)),E(E(1,E(E(1,E(1,E(E(1,E(E(1,E(E(1,E(1,E(E(1,1),1))),1)),E(1,1))),1))),1)),1)),1)),1),
dove E è un’abbbreviazione di eml… Tra l’altro il lettore attento si sarà anche accorto che per ottenere pi greco dobbiamo passare ai numeri complessi, dato che dobbiamo prendere il logaritmo naturale di –1; questo è probabilmente il punto più debole di tutta la costruzione.

Dunque a che cosa serve tutto questo? Dal punto di vista pratico a nulla: funzioni come esponenziali e logaritmo non sono certo comode da calcolare, e come visto qui sopra fare dei calcoli senza avere a disposizione delle abbreviazioni per le operazioni create – altri tasti… – è impossibile in pratica. Però non è che qualcuno si preoccupi perché fare matematica partendo dagli assiomi di Peano sia troppo prolisso, no? Nei commenti a questo tweet che presenta l’articolo di Odrzywołek sono in parecchi a essere vittime della sindrome dell’uovo di Colombo, affermando che tutto questo era già noto da tempo; peccato che nessuno si fosse dato la briga di fare tutti i conti effettivi per dimostrare che la cosa era effettivamente possibile. Da un punto di vista teorico, però, abbiamo finalmente la prova che gli operatori matematici che usiamo sono davvero parte di un’unica famiglia, generata tra l’altro da una grammatica priva di contesto semplicissima:

S → 1 | eml(S,S)

Il linguaggio generato da questa grammatica è isomorfo a quello degli alberi binari completi, e quindi lo possiamo anche vedere come un circuito elettronico. È anche interessante che le funzioni aritmetiche semplici non arrivano subito, ma solo dopo averne costruite di più complesse; il logaritmo naturale è il pons asinorum, perché è relativamente difficile da ottenere ma è necessario per arrivare alla sottrazione e quindi alle altre operazioni.

Quello che però io vedo in questa costruzione è la quintessenza della matematica come gioco. La regola in questo caso è stata “di quali operatori possiamo fare a meno, perché tanto siamo in grado di ricostruirli?” È la stessa spinta che ha portato a dimostrare che tutte le costruzioni con riga e compasso possono essere replicate usando solo il compasso (con l’assunzione che una retta è definita quando abbiamo trovato due suoi punti) oppure solo la riga e un singolo cerchio dato inizialmente. Ma è anche la spinta che ha portato Peter Habeler e Reinhold Messner a scalare l’Everest senza ossigeno, oppure Georges Perec a scrivere un intero romanzo senza usare la lettera “e”: noi esseri umani non ci accontentiamo di avere raggiunto un obbiettivo, ma cerchiamo subito di aggiungere vincoli per complicarci la vita e avere una nuova sfida. Vorreste mica che la matematica sia un’eccezione?

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