La matematica non è solo una disciplina scientifica, ma anche un modo di guardare in modo diverso quello che è accanto a noi… compresa la matematica stessa, se serve. Maurizio Codogno, meglio noto in rete come .mau., racconta come lui vede la matematica, con la scusa di non doverla insegnare né crearne di nuova. Il tema di oggi sono le successioni numeriche con regole strane.

Supponiamo di voler costruire una successione di numeri con questa regola: abbiamo a disposizione tutti i numeri già trovati nella successione, e dobbiamo aggiungere il più piccolo che non sia ottenibile a partire da quei numeri (senza ripeterli, e non necessariamente tutti), usando solo addizioni, moltiplicazioni e parentesi q.b. Si parte ovviamente con 1; da lì non possiamo fare nulla e quindi dobbiamo aggiungere 2. Adesso però possiamo scrivere 3 = 1+2; però non possiamo ottenere il 4, dato che 2+2 è proibito perché usa due volte il 2. Altre possibilità non ce ne sono, quindi il terzo numero della successione è 4. Con 1, 2, 4 non c’è nessun problema ad arrivare a 7; abbiamo poi 8 = 2×4, 9 = 2×4 + 1, 10 = 2×(4+1). Si potrebbe ottenere 12 = (2+1)×4, ma non 11 che è dunque il numero successivo della nostra successione. Riuscite a trovare il prossimo prima di continuare a leggere?

Chiaramente possiamo ottenere tutti i numeri fino a 21, sommando a 11 quelli da 1 a 10, e possiamo anche ottenere 22 come 11×2 e 23 come 11×2 + 1. In generale, quindi, sappiamo che il valore di un numero qualunque nella successione dopo i primi tre è maggiore del doppio di quello precedente. Qui non è troppo complicato scoprire che dobbiamo aggiungere 25 alla nostra successione; a questo punto non avevo voglia di testare i numeri da 52 in su, e ho dato in pasto la successione fin qui trovata a OEIS (sia sempre benedetto il sito), che ha ritornato 1, 2, 4, 11, 25, 64, 171, 569, 3406, 27697, 243374, 1759619, 28381401, 222323189, 3416307938, 26838745347, …

A che serve questa successione? A nulla. Non credo che abbia un’applicazione pratica. Ho anche molti dubbi che verrà trovato anche solo un ulteriore valore: già l’avere trovato l’anno scorso il sedicesimo deve essere stato un lavoraccio, perché è stato necessario trovare circa 20 miliardi di operazioni algebriche e poi dimostrare che 26838745347 non andava bene, il che significa testare 15! permutazioni di elementi inserendo 2¹⁴ combinazioni di + e × e vedere cosa si ottiene. (Ok, probabilmente se ne taglia una gran parte notando che o si supera il valore richiesto oppure non ci si può arrivare nemmeno continuando a moltiplicare, ma non è che la cosa sia così semplice da implementare). Non penso nemmeno ci sia una formula pratica per stimare dove si trova il numero successivo: se ci avete fatto caso, il rapporto tra due elementi successivi a volte cresce e a volte diminuisce.

Eppure c’è gente che si è messa a calcolarla, magari solo per i primi valori come ho fatto io: tutto questo solo perché siamo curiosi e vogliamo vedere dove si potrebbe andare a finire. La matematica è fondamentalmente questo: curiosità. La curiosità può nascere perché il risultato è utile, come nelle equazioni differenziali che arrivano dalla fisica, oppure senza secondi fini come stavolta: ma sempre curiosità è. OEIS ha migliaia di queste successioni, spesso trovate più o meno per caso; a volte capita che una successione appaia in due campi completamente diversi tra di loro, e allora un Vero Matematico prova a cercare di scoprire se la diversità è solo apparente oppure qualcosa di profondo è celato; ma nella maggior parte dei casi la successione se ne sta per conto suo, semplice simbolo della complessità incredibile di un sistema di regole aritmetiche che è semplice solo a prima vista.

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Maurizio Codogno

Maurizio Codogno, noto online come .mau., è nato a Torino nel 1963, e si è laureato in matematica presso la Scuola Normale Superiore di Pisa e successivamente in informatica a Torino. Autore di numerosi libri di divulgazione scientifica, tra cui “Matematica in pausa caffè” e “Chiamatemi Pi Greco”, ha il suo blog “Notiziole di .mau.” dall’inizio del millennio ed è stato curatore della collana di libri Matematica di Gazzetta dello Sport e Corriere della Sera.