La matematica non è solo una disciplina scientifica, ma anche un modo di guardare in modo diverso quello che è accanto a noi… compresa la matematica stessa, se serve. Maurizio Codogno, meglio noto in rete come .mau., racconta come vede la matematica, con la scusa di non doverla insegnare né crearne di nuova. Oggi parliamo di numeri reali.

L’affermazione del titolo, così da sola, non significa molto. Immagino che per esempio per parecchi di voi non “esista” nessun numero, nel senso che ritenete il concetto di numero puramente astratto, comodo artificio per fare i conti ma pur sempre un artificio. Quello che può esistere sono cinque pecore in un campo, cinque dita di una mano, cinque note nella scala pentatonica; ma non esiste un “cinque” da solo. Semplicemente capita che ci siano tante dita nella mano quante sono le pecore che vediamo o le note che suoniamo. Questo però non è il mio pensiero, da buon platonista riformato quale io sono. Per quanto mi riguarda, il cinque esiste proprio come esiste la bellezza. Certo, la “cinquezza” è una proprietà astratta e non potremo mai toccarla con mano, ma questo non significa poi molto: non è che tocchiamo la bellezza, no?

Insomma, il cinque per me esiste. Ma esiste anche il $\frac{3}{8}$, se per questo. Né mi faccio problemi con la radice quadrata di $2$, o se per questo con la radice cubica di $2$ o con le soluzioni di un’equazione di quinto grado non risolubile per radicali, come $x^5 – 4 x + 2 = 0$. Dirò di più: anche numeri come $e$ oppure $\pi$ sono per me perfettamente esistenti, giusto per far tacere chi potrebbe pensare che io mi limiti ai numeri algebrici. Come avete sicuramente notato, mi sta bene non poter mai scrivere esplicitamente un numero, fintantoché posso dargli un’etichetta e definire un procedimento che in linea di principio in un tempo infinito mi farebbe arrivare al suo valore.

Il concetto chiave però è proprio quello di etichetta. Anche se io sono molto liberale quando si parla di esistenza, per accettare che un numero esista devo essere in grado di specificarlo in qualche modo. Non pretendo di avere un algoritmo che porti a trovare il valore: “la più piccola radice positiva dell’equazione $x^5 – 4 x + 2 = 0$” mi è sufficiente. Ma quanti numeri possiamo specificare? Beh, possiamo dare una stima superiore a questa quantità. Per specificare una qualsiasi cosa, dobbiamo partire con un alfabeto, quindi con un numero finito di simboli, e costruire una stringa di simboli di lunghezza finita grande a piacere. Avremo stringhe senza senso come «Axaxaxas mlo», stringhe che parrebbero avere senso come «Tuono pettinato», stringhe che hanno un senso ma non sono numeri come «Nel blu, dipinto di blu», stringhe che corrispondono a un numero in un’altra lingua come «neun und drei Viertel» (che di per sé ci va benissimo, non siamo sciovinisti), stringhe che corrispondono a un numero in italiano come «quarantadue» o a un procedimento come «la lunghezza di una circonferenza il cui diametro è 1». È facile notare che queste stringhe sono una quantità numerabile: basta ordinarle prima per lunghezza e poi in modo lessicografico all’interno delle stringhe della stessa lunghezza. Ma sappiamo anche che i numeri reali, o meglio le stringhe infinite di cifre con una virgola da qualche parte nel loro sviluppo, non sono una quantità numerabile, come ci insegna Cantor. Risultato? Se siamo onesti, dobbiamo ammettere che esiste un magma di elementi che assomigliano ai numeri, che questo magma può anche essere suddiviso – per esempio tra elementi maggiori e minori di zero – ma che non esistono elementi specifici nel magma.

Se la cosa vi pare esagerata, vi rammento il paradosso di Banach-Tarski che funziona esattamente allo stesso modo. Le parti della sfera che opportunamente traslate e ruotate formano due sfere identiche a quelle di partenza sono dei magmi non esplicitabili. Anche passando alla fisica, le teorie attuali affermano che al di sotto della lunghezza di Planck non si può dire nulla, e quindi una lunghezza corrispondente a un numero reale non ha senso. Non parliamo poi dell’informatica, dove i numeri sono per definizione di lunghezza finita (e anche nel calcolo simbolico abbiamo stringhe di lunghezza finita).

E allora perché parliamo dei numeri reali come se esistessero? Ce li teniamo come illusione perché ci permettono di usare formule semplici per approssimare i comportamenti fisici. Pensate per esempio alla definizione di funzione continua: se in un punto il suo valore è $a$ e in un altro punto è $b$, allora vogliamo che possa assumere tutti i valori tra $a$ e $b$. Lo stesso in geometria: come i matematici hanno compreso alla fine dell’800, dobbiamo assumere come assioma che una retta che interseca un lato di un triangolo deve anche intersecarne un altro, e non può passare per qualche pertugio che non vediamo perché la linea che disegniamo ha un certo spessore.

Insomma, se volete fare finta di avere i numeri reali fatelo pure, ma non pensate che ci siano davvero!

(Immagine di Phrood~commonswiki, da Wikimedia Commons.)

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Maurizio Codogno

Maurizio Codogno, noto online come .mau., è nato a Torino nel 1963, e si è laureato in matematica presso la Scuola Normale Superiore di Pisa e successivamente in informatica a Torino. Autore di numerosi libri di divulgazione scientifica, tra cui “Matematica in pausa caffè” e “Chiamatemi Pi Greco”, ha il suo blog “Notiziole di .mau.” dall’inizio del millennio ed è stato curatore della collana di libri Matematica di Gazzetta dello Sport e Corriere della Sera.