Maurizio Codogno, meglio noto in rete come .mau., racconta come lui vede la matematica, con la scusa di non doverla insegnare né crearne di nuova. Vi siete mai chiesti perché i matematici sono così fissati con le notazioni? C’è una ragione molto semplice: servono davvero.

La scorsa settimana Quanta Magazine ha pubblicato una lunga intervista allo storico della matematica David Dunning, dove si parla dell’importanza delle notazioni per fare matematica. Nell’intervista Dunning racconta tante cose, partendo dall’assunto che le notazioni “devono essere inventate, bisogna imparare a usarle, [e soprattutto] hanno delle potenzialità e dei limiti”. Gli esempi che Dunning fa nella sua intervista mi erano in parte noti: per esempio, non è impossibile fare aritmetica con i numeri romani ma ne esce fuori qualcosa di diverso da quella che facciamo oggi. Quello che non immaginavo era però il vero motivo di questa diversità: non era tanto per la complessità delle operazioni con i numeri romani – sapevo già che i romani usavano gli abachi per fare le operazioni, convertendo poi il risultato in un formato da loro rappresentabile – quanto perché ogni volta che raggiungevi una nuova magnitudine avevi bisogno di un simbolo nuovo: così dopo I, X, C, M ci si trova a disagio con i numeri più grandi, e almeno nelle lapidi si trovano buffi segni come la barra superiore oppure una specie di recinto. Con i numeri arabi tutto questo viene spazzato via: come già diceva Fibonacci, bastano le nove cifre 9 8 7 6 5 4 3 2 1 e lo zero per scrivere tutti i numeri che vogliamo. (Mia digressione: ma anche con i numeri arabi cominciamo ad avere un problema con quelli molto grandi. Scrivere che il numero di Avogadro è circa 602.214.076.000.000.000.000.000 non ci dice molto, e resta opaco anche se ci ho messo i puntini ogni tre cifre. Non per nulla usiamo la notazione scientifica: 6,02214076 ∙ 10^23 è più comprensibile. Fine della digressione.) Ma è comunque vero che i numeri arabi, proprio per la loro agnosticità rispetto alla posizione di una cifra (certo, ha un valore diverso, ma le operazioni che si fanno con essa restano le stesse), permettono di costruire algoritmi generali che ci facilitano le operazioni. Pensate alla moltiplicazione e alla divisione che abbiamo imparato tutti a scuola: sono una palla, lo so, però funzionano davvero a macchinetta.

Il secondo esempio che fa Dunning è quello delle notazioni per l’analisi matematica inventate da Newton e Leibniz. Dunning esordisce facendo notare che l’opera di Newton è essenzialmente geometrica: i suoi Principia Mathematica nascevano come equivalente degli Elementi di Euclide e riprendevano i concetti archimedei. Quindi la sua notazione per le flussioni, il punto sopra la variabile, non aveva nessun altro significato se non di indicare qualcosa di nuovo. Leibniz pensava invece in modo algebrico: sapeva perfettamente che dx/dy non poteva essere una vera divisione, ma visto che in tanti casi si poteva far finta che lo fosse e la semplice manipolazione algebrica portava a scoprire nuovi risultati, ben venga questa notazione. (Altra digressione: i numeri immaginari con Tartaglia e Cardano sono nati esattamente allo stesso modo: la radice quadrata di un numero negativo non poteva esistere, ma se si faceva finta che esistesse e si continuava a fare i calcoli, alla fine aveva il buon gusto di togliersi dai piedi e dare la risposta giusta. Quindi ben venga questa notazione.) Ma anche qui c’è qualcosa di più, secondo Dunning: innanzitutto che Leibniz era tanto convinto della bontà delle sue notazioni che pensava non sarebbe più stato necessario fare nulla perché le notazioni stesse avrebbero pensato al posto nostro, un po’ come quello che i fuffaroli IA provano sempre a propinarci, ma soprattutto perché la notazione leibniziana ha avuto un grande seguito, e quindi si è consolidata come “la più naturale” – cosa che non è necessariamente – tanto che gli analisti britannici nel XIX secolo dovettero fare un notevole sforzo per ricalibrare la loro matematica con la nuova notazione.

Spero che abbiate notato che ho usato la parola “inventate” parlando delle notazioni. Come ho già scritto, io sono un platonista riformato e credo che la matematica si scopra, non si inventi. Ma le notazioni sono sicuramente qualcosa di pienamente umano, se volete l’interfaccia tra il mondo della matematica e quello nostro; dunque sono per l’appunto una nostra invenzione. Come tutte le invenzioni, possono sempre evolversi ed essere migliorate, almeno fino a un punto tale che non le percepiamo più come notazioni, ma come normali termini. Anche a chi afferma di non avere mai capito la matematica può capitare di dire “mi hanno chiesto di percorrere una distanza x”. Eppure questa è una notazione relativamente moderna, che risale ai tempi di Cartesio e della nascita della geometria analitica; del resto un bambino alle elementari non sa assolutamente usare questa notazione. Possiamo insomma sperare di riuscire a trovare una notazione ancora migliore che renda più semplice la nostra vita di tutti i giorni.

Più difficile sarà invece riuscire a uniformare le notazioni di matematica avanzata. A un esterno come me a cui capita di dare un’occhiata ai preprint mi pare tanto che ogni autore usi una sua propria notazione: non penso sia perché non voglia che altri rubino il suo lavoro, ma perché la parcellizzazione della matematica è tale da rendere le scuole di ricerca quasi delle monadi, senza interazione con il resto della comunità (non parliamo del mondo qua fuori). Però almeno per questo stiamo per avere una soluzione a portata di mano: l’intelligenza artificiale. Proprio perché gli LLM non hanno alcuna idea semantica di quello che tirano fuori, possono accorgersi di similitudini formali tra due notazioni a prima vista completamente separate e quindi applicare alla domanda nel campo X le tecniche del campo Y. Se saremo davvero fortunati, avremo anche un sistema di output generale ma comprensibile (quello interno continueremo a non capirlo, ma ce ne faremo una ragione). Non sarebbe bellissimo?

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Maurizio Codogno

Maurizio Codogno, noto online come .mau., è nato a Torino nel 1963, e si è laureato in matematica presso la Scuola Normale Superiore di Pisa e successivamente in informatica a Torino. Autore di numerosi libri di divulgazione scientifica, tra cui “Matematica in pausa caffè” e “Chiamatemi Pi Greco”, ha il suo blog “Notiziole di .mau.” dall’inizio del millennio ed è stato curatore della collana di libri Matematica di Gazzetta dello Sport e Corriere della Sera.