Maurizio Codogno, meglio noto in rete come .mau., racconta come lui vede la matematica, con la scusa di non doverla insegnare né crearne di nuova. Con le intelligenze artificiali che dimostrano teoremi e i programmi che formalizzano le dimostrazioni non ci si divertirà più a fare matematica? I commenti sono di tipo opposto.

Ananyo Bhattacharya è il Chief Science Writer – una di quelle attività che in Italia mancano da sempre – alla London Institute for Mathematical Sciences. Magari qualcuno ha letto il suo L’uomo venuto dal futuro, una non-biografia di John von Neumann. Non-biografia perché più che raccontare la sua vita intervista gente per chiedere qual è stato il suo lascito alla matematica di oggi. Ad ogni modo, in questo suo post (che potete anche trovare sul suo substack) parte dalla storia di Liam Price, matematico dilettante ventitreenne, che ha risolto uno del problemi di Erdős usando ChatGPT-Pro. La parte interessante di questa dimostrazione è che la linea di attacco trovata, non sappiamo dopo quanti tentativi, da ChatGPT-Pro non era mai stata considerata dai matematici umani, e quindi possiamo dire che è “una novità”. D’accordo, non è che non fosse mai stata vista nella produzione matematica, ma non era stata applicata a quello specifico problema il che è sufficiente per definirla nuova, almeno nel mondo matematico.

Bhattacharya prosegue la sua analisi notando come ormai Lean è diventato uno standard nel formalizzare dimostrazioni: il guaio è che anche se sappiamo che le sue dimostrazioni sono corrette non abbiamo nessuna idea del significato dietro a esse. Peggio ancora, il combinato disposto di una dimostrazione creata da un’IA e una sua verifica fatta da Lean porterebbe a un ristagno della matematica, perché a questo punto a nessuno verrebbe voglia di cercare una dimostrazione più “umana” e comprensibile, e magari tirare fuori nel frattempo nuove idee e concetti matematici.

Ma il fatto che il concetto di dimostrazione perda di significato dopo 2300 anni ed Euclide non è solo distruttivo per la matematica, termina Bhattacharya: se accettiamo che la matematica non è “fare dimostrazioni”, non solo perdiamo tutta la matematica dal livello universitario in poi, ma rischiamo che questo virus si propaghi anche all’arte e alla letteratura. Detto in altri termini: è più importante il risultato – il dipinto, la scultura, il romanzo: in matematica sarebbe il teorema – oppure il processo che ha portato a quel risultato, cioè l’equivalente della dimostrazione? Al momento non facciamo nessuna distinzione tra le due cose, ma se arriveremo al punto in cui le IA creeranno opere indistinguibili da quelle umane, quindi ottenendo lo stesso risultato, tutta la nostra concezione di arte finisce a gambe all’aria. In tre parole, insomma, fine del divertimento. (David Bessis entra più nel dettaglio su cosa sta succedendo alla matematica, ma di questo parlerò un’altra volta.)

L’anno scorso lo stesso concetto era stato trattato da Petra Schwer in questo suo articolo. Ok, i risultati matematici delle IA erano a livello più basso, ma comunque cominciavano a essere notevoli, almeno per una certa definizione di “notevole” dove l’apporto dei matematici umani era ancora fondamentale per distinguere il grano dal loglio. Schwer vede le cose da un punto di vista totalmente diverso, oserei dire sociale: per lei fare matematica è esplorare un territorio, e nel farlo ci si crea una mappa mentale. Qui arriva il punto chiave: ognuno di noi ha una sua mappa personale, diversa da quella di chiunque altro, e quindi dobbiamo fare in modo di trovare un terreno comune che ci permetta di comunicare costruendo così una mappa più completa e soprattutto condivisa. Imparare la matematica significa pertanto anche imparare gli strumenti di comunicazione e soprattutto come usarli: quello che per Bhattacharya, ma non solo, sono appunto le dimostrazioni. Una dimostrazione condivide una conoscenza comune e una comprensione comune di formalismo e rigore, e dipende molto dal pubblico che si ha davanti: quello che per qualcuno è uno “sketch of proof” per qualcun altro (come me…) è già una dimostrazione sufficiente, perché trova i passi saltati qualcosa di ovvio. Però attenzione: è vero che le dimostrazioni sono la struttura della matematica fin da Euclide, ma la definizione di cosa è una effettiva dimostrazione è cambiata nei secoli. Restando alla geometria euclidea, pensate solo alla differenza tra gli assiomi di Euclide e quelli completati da Hilbert.

In definitiva, per Schwer fare matematica è “esplorare, costruire e comunicare una mappa universale, imperitura e vera della matematica, che gli altri esseri umani possano comprendere e usare”. La matematica non è insomma un semplice elenco di problemi, anche se aggiunge in piccolo “E dire che abbiamo fatto un gran bel lavoro nell’insegnare a generazioni di studenti delle superiori l’opposto, purtroppo”. Questo non significa che l’IA non esista, anzi: è ovvio che influenza e influenzerà come lavoriamo, non fosse altro che perché avremo una tendenza a scegliere parti della matematica che “funzionano meglio” per le IA.

Io non sono né pessimista come Bhattacharya né ottimista come Schwer. Per come vedo io le cose, in questo momento le IA seguono la via di Lullo: generare tutta la conoscenza in modo combinatorio. Lo so, sono molto lontane dall’arrivarci e magari non ci arriveranno mai: però l’idea è quella. Quello che manca loro è però un terreno comune con noi: questo significa che sono gli umani a indicare la strada  anche se è possibile che saranno in tanti a scegliere la via più semplice, come dicevo sopra. Insomma potremo ancora divertirci a fare matematica, ma probabilmente il divertimento sarà un po’ minore perché non sceglieremo più quello che vogliamo. Non avremo più un Conway, insomma. Ma magari riusciremo a rendere più appetibile la matematica agli studenti, togliendo loro la paura delle dimostrazioni. (Poi io sono della scuola che pensa che una dimostrazione sia una sfida…  ma credo di essere in minoranza)

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Maurizio Codogno

Maurizio Codogno, noto online come .mau., è nato a Torino nel 1963, e si è laureato in matematica presso la Scuola Normale Superiore di Pisa e successivamente in informatica a Torino. Autore di numerosi libri di divulgazione scientifica, tra cui “Matematica in pausa caffè” e “Chiamatemi Pi Greco”, ha il suo blog “Notiziole di .mau.” dall’inizio del millennio ed è stato curatore della collana di libri Matematica di Gazzetta dello Sport e Corriere della Sera.