Il rumore della carta che si strappa, l’odore di inchiostro fresco e quel brivido di attesa. Che tu sia un appassionato di carte Pokemon o di One Piece, oppure che tu sia cresciuto a pane, Calciatori Panini e Amici Cucciolotti, conosci bene quella sensazione. Tutti ci siamo passati! Dal ragazzino che spende la paghetta dei genitori al nonnino che compra il pacchetto per il nipote. E tutti, inequivocabilmente, ci siamo posti una domanda: ‘Quante bustine devo ancora comprare per finire questa benedetta collezione?’. La risposta è nella probabilità. In questo nuovo episodio di Radice Di Pop , vi faremo vedere come la matematica può calcolare esattamente quante bustine vi servono per completare una collezione.

Il problema del collezionista

Vi svelo un retroscena: l’idea originale per questo articolo era parlare solo ed esclusivamente di Pokemon. Essendone un grande fan fin da bambino (cresciuto a pane e Pikachu), cercavo quasi per nostalgia un pretesto per unire quei “piccoli” mostriciattoli alla matematica. Di spunti, a dire il vero, ne ho trovato a bizzeffe! Ma poi, leggendo sulla rivista Archimede un articolo di Davide Palmigiani sul Gioco di Carte Collezionabili dei Pokemon ( TCG ), mi sono imbattuto in qualcosa capace di sbloccare ricordi ancora più profondi: il celebre ‘problema del collezionista’.

Il problema è esattamente quello che state immaginando: abbiamo un numero \( N \) di carte da collezionare e ci chiediamo quante bustine serviranno per completare l’album. In questa prima fase affronteremo il caso più semplice, supponendo che possiamo ottenere una sola carta alla volta e che tutti siano equiprobabili tra loro, ovvero che abbiano la stessa probabilità di uscita. È quello che accade, ad esempio, con le figurine dei Calciatori Panini (anche se a volte sembrava che i calciatori più famosi non uscissero mai) o degli Amici Cucciolotti, dove non esistono carte rare. Un discorso ben diverso rispetto ai Pokemon, in cui le probabilità variano drasticamente. Pensate che, per colpa di questa rarità, una singola carta di Blastoise è arrivata a costare ben 360.000 dollari!

Procediamo al calcolo

Passiamo ai numeri. Cerchiamo di tradurre il problema in un linguaggio più formale: dato un set di \( n \) carte distinte, quante estrazioni con ripetizione (ovvero, considerando i doppini) servono per completare la collezione?

Indichiamo con \( T \) il numero totale di estrazioni necessarie per completare l’album. Se definiamo \( t_i \)  come il ‘tempo’ (ossia il numero di tentativi o di bustine da aprire, ricordando che ogni bustina contiene una sola carta nel nostro caso) che ci serve per trovare l’i-esima figurina nuova, il tempo totale \( T \) sarà semplicemente la somma di tutti questi singoli tempi \( t_i \) . A questo punto ci chiediamo: qual è la probabilità \( p_i \) di pescare una carta inedita in questa fase? Se cerchiamo l’ i -esima figurina, significa che ne abbiamo già trovate \( i-1 \) . Le carte mancanti sono quindi \( n-(i-1) \) . Da qui la nostra formula, la comune casi favorevoli diviso casi totali:

Qui arriva il bello (o il brutto se siete il povero nonnino a comprare le bustine). Man mano che l’album si riempie, il numeratore si rimpicciolisce. Quando ci manca l’ultimissima carta, la probabilità di trovarla è di appena \( \frac{1}{n} \) che purtroppo sappiamo tendere a zero quando n tende a infinito…

Se mastichiamo un po’ di probabilità, ci accorgiamo che ogni tempo \( t_i \) segue una distribuzione geometrica . E qui la matematica ci viene in soccorso: il valore atteso per ogni singola tappa è l’inverso della probabilità:

\( \frac{1}{p_i} \)

Sommando tutti questi tempi, otteniamo il tempo medio totale per completare la collezione (che ricordo essere in termini di estrazioni). Mettendo in evidenza il numero di carte n , ci ritroveremo davanti a una somma del tipo:

$$n \cdot \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} \right)$$ 

In matematica questa parentesi è una celebrità: l’ n -esimo numero armonico, indicato con \( H_n\) . Di conseguenza, la nostra formula finale sarà:

Costo computazionale e interferenze

Tutto questo ci fa scoprire una cosa affascinante: il numero di bustine necessarie cresce con un andamento asintotico pari a \( O\left(\frac{n}{\log(n)}\right) \) . In parole povere, il nostro tempo si può approssimare benissimo usando i logaritmi naturali. Questo significa che la spesa (e la fatica!) per completare l’album cresce in modo molto più che proporzionale rispetto al numero delle carte. Vi riporto qualche esempio:

• Per n=100 servono in media 519 estrazioni casuali per completare la collezione;
• Per n=200 ne servono in media 1176;
• Per n=1000 siamo intorno alle 7486 estrazioni;

Numeri esorbitanti, che non fanno altro che confermano l’enorme spesa economica da affrontare! Qui riporto una tabella che riassume quanto detto:

Naturalmente, come dicevo all’inizio noi abbiamo considerato il caso più semplice. Pensate che se solo togliessimo l’ipotesi di equiprobabilità, il tempo per la fine della collezione aumenterebbe esponenzialmente ed è ciò che rende carte come quelle dei Pokemon, o altri tipi di CardGame, costose e, soprattutto, impossibili da collezionare.

Conclusioni

In conclusione, la prossima volta che troverete in edicola o in fumetteria con un pacchetto lucido tra le mani, saprete che la matematica vi sta guardando. Il problema del collezionista ci insegna che l’entusiasmo iniziale è destinato, per forza di cose, a scontrarsi con la dura legge dei logaritmi e dei grandi numeri. Ma in fondo, non è forse questa caccia quasi infinita all’ultimo pezzo mancante a rendere l’album così speciale?