Dopo l’articolo dell’estate scorsa sul dilemma del prigioniero, sugli equilibri tra strategie dominanti e libero mercato, ritorna Stefano Iannone con un nuovo pezzo in cui propone di applicare un modello di ottimizzazione vincolata per caratterizzare un Paese, perseguendo obiettivi di sostenibilità, salute, equità e democrazia.

 

Immaginiamo due Paesi e chiamiamoli Paese X e Paese Y. Sono entrambi Paesi reali e sono descritti da questi numeri:

• Paese X: PIL \( \approx \) 29180 miliardi di dollari, HDI = 94, Impronta ecologica = 5.1, Indice di Gini = 0.42, Indice democratico = 7.65.
• Paese Y: PIL \( \approx \) 109 miliardi di dollari, HDI = 83, Impronta ecologica = 1.7, Indice di Gini = 0.46, Indice democratico = 8.29.

Cosa significano questi strani nomi e sigle?

Facciamo subito chiarezza prima di proseguire.

• PIL (Prodotto Interno Lordo) – Lo conosciamo tutti: è il valore totale di ciò che un Paese produce in un anno. Il problema?  Non dice se la ricchezza è equa, non dice se l’aria è respirabile, non dice se abbiamo distrutto una foresta o costruito una scuola. Anzi: abbattere una foresta fa crescere il PIL esattamente come costruire un ospedale. Inoltre, il PIL ignora i limiti fisici del pianeta. È come cercare il massimo di una funzione senza dire che il dominio è finito: la matematica ti farebbe andare all’infinito, ma la Terra non è infinita.

• HDI (Indice di Sviluppo Umano) – Non considera solo il reddito, ma anche la salute (aspettativa di vita) e l’istruzione (anni di scuola). Va da 0 a 100 (o da 0 a 1, dipende dalla scala). Più è alto, meglio è. Tuttavia, anche l’HDI ha un punto debole: non dice se quella ricchezza sia equamente distribuita né se l’ambiente stia collassando.

• Impronta ecologica – Quanta “Terra” serve per sostenere il nostro stile di vita? Se tutta l’umanità vivesse come un italiano medio, servirebbero quasi 3 pianeti. Un’impronta ecologica di 1.0 significa che usiamo esattamente le risorse che la Terra riesce a rigenerare in un anno. Sopra 1.0, stiamo corrodendo il capitale naturale fondamentale per il futuro.

• Indice di Gini – Misura la disuguaglianza: 0 significa che “tutti hanno esattamente lo stesso reddito”; 1 significa che “una persona ha tutto, gli altri zero”. Un Paese con un coefficiente di Gini pari a 0.25 delinea un modello egualitario, mentre un valore di 0.65 indica una società con profonde disuguaglianze economiche.
• Indice Democratico – Va da 0 a 10: sotto 4 si parla di “regime autoritario”; tra 4 e 6, di “regime ibrido”; sopra 8, di “democrazia piena”.

Un primo confronto

Adesso che sappiamo cosa significano quei numeri, se ti chiedessi, lettore: dove preferiresti vivere?

Se guardiamo solo al PIL o all’HDI semplice, diremmo, senza dubbio: vincerebbe X. Ma, se guardiamo più attentamente, nel Paese X l’ambiente sta collassando (un’impronta ecologica pari a 5.1 è enorme!), la democrazia è sotto la soglia (7.65) e la disuguaglianza (0.42) è notevole. Il Paese Y, pur avendo un HDI più basso (83 contro 94), è ecologicamente sostenibile (1.7), democratico (8.29) e, purtroppo anch’esso diseguale (0.46), però almeno non supera le soglie in modo così drammatico.

Fonte: Numeripari.org

E qui nasce la domanda dell’articolo:

Possiamo scrivere in formule matematiche questa idea che “sviluppo” non indichi solo crescita economica, ma anche rispetto di limiti ecologici, sociali e democratici?

La risposta è sì. Ed è solo un problema di ottimizzazione vincolata. Un problema di ottimizzazione vincolata cerca il massimo o il minimo di una funzione, rispettando determinati limiti (vincoli) sulle variabili.

 

Un nuovo modello

Invece di massimizzare il PIL senza limiti, massimizziamo l’HDI rispettando tre vincoli: ecologico, distributivo e democratico. L’HDI già considera salute, istruzione e reddito. Ma da solo non basta: abbiamo già visto, nel nostro esempio sopra, che un Paese può avere HDI alto e, allo stesso tempo, essere ingiusto o insostenibile. Per questo, aggiungiamo dei “paletti”.

I tre vincoli

Immagina un campo da calcio, dove i giocatori sono liberi di correre e inventare tattiche, ma le linee laterali e di fondo ci sono: se la palla esce, il gioco si ferma. Come fermiamo, limitiamo, un Paese dall’essere non ecologico, ingiusto o insostenibile? Formuliamo i seguenti vincoli:

1. Vincolo ecologico, misurato con l’impronta ecologica \(E\):

• Deve essere \(E \leq E_{\max}\);
• Se si supera, il sistema collassa;
• Poniamo \(E_{\max} = 1.3\). È un po’ sopra 1, ma vogliamo essere realistici. Oggi l’umanità consuma risorse come se avesse a disposizione quasi due pianeti Terra (precisamente 1.75), ma noi di pianeti ne abbiamo uno solo!

2. Vincolo distributivo, misurato con l’Indice di Gini \(G\):

• Impone un intervallo: \(G_{\min} \leq G \leq G_{\max}\);
• Esempio: \(G_{\min} = 0.15\) e \(G_{\max} = 0.35\);
• Troppa uguaglianza? Forse sarebbe possibile, ma mettiamo un minimo per ragioni di dignità. Troppa disuguaglianza? Frattura sociale.

3. Vincolo democratico, misurato con l’Indice Democratico \(I\):

• Si richiede \(I > 8\);
• Non è un premio, è una condizione minima: senza democrazia, il modello non funziona.

Nota importante: questi numeri (1.3, 0.15, 0.35, 8) non sono valori assoluti universali. Ogni comunità politica può scegliere i propri. La struttura matematica resta la stessa.

Qual è la formula?

Vogliamo massimizzare l’HDI e, contemporaneamente, penalizzare le violazioni dei vincoli:

\( HDI_{\max} = HDI – a (\text{Superamento ecologico})^2 – b (\text{Deficit democratico})^2 – \text{Penalità distributiva} \)

dove:

• Superamento ecologico: \( \max\{0, (E – E_{\max})^2 \} \) (in altre parole, se si sta dentro, la penalità è zero; altrimenti, è il quadrato della differenza);
• Deficit democratico: \( \max \{0, (8 – I)^2 \} \) (idem: sotto 8, si paga);
• Penalità distributiva: \( = \begin{cases} c (G_{\min} – G)^2 & \text{ se } G < G_{\min} \\ 0 & \text{ se } G_{\min} \le G \le G_{\max} \\ d (G – G_{\max}) & \text{ se } G > G_{\max} \end{cases} \)

I coefficienti delle penalità sono prezzi ombra: ci dicono di quanto migliorerebbe il benessere se allentassimo un po’ i rispettivi vincoli. Non sono prezzi in euro o in altre valute, bensì misure della qualità della vita.

 

Torniamo ai nostri due Paesi (con i numeri)

Per semplicità, abbiamo impostato \( a = b = c = d = 0.25 \).

Paese X:

• Superamento ecologico: \(5.1 – 1.3 = 3.8 \rightarrow \) Penalità: \(0.25 \cdot (3.8)^2 \approx 3.61\);
• Deficit democratico: \(8 – 7.65 = 0.35 \rightarrow \) Penalità: \(0.25 \cdot (0.35)^2 \approx 0.03\);
• Disuguaglianza: oltre \(G_{\max}\) di \(0.42 – 0.35 = 0.07 \rightarrow \) Penalità: \(0.25 \cdot (0.07)^2 \approx 0.0012\)
• Penalità totale: \(\approx 3.64 \rightarrow HDI_{\max} = 94 – 3.64 = 90.36\).

Paese Y:

• Superamento ecologico: \(1.7 – 1.3 = 0.4 \rightarrow \) Penalità: \(0.25 \cdot (0.4)^2 = 0.04\);
• Deficit democratico: \( 0 \), perché \( I = 8.29 > 8 \) ;
• Disuguaglianza: oltre \( G_{\max}\) di \(0.46 – 0.35 = 0.11 \rightarrow \) Penalità: \(0.25 \cdot (0.11)^2 \approx 0.003\)
• Penalità totale: \(\approx 0.043 \rightarrow HDI_{\max} = 83 – 0.043 \approx 82.96\). 

Quindi, prima delle penalità, vinceva X (94 contro 83). Dopo i vincoli, X e Y sono quasi appaiati (\(90.36\) contro \(82.96\)).

E l’irrazionalità umana?      

Siamo onesti: noi umani non siamo razionali come i modelli matematici; siamo impulsivi, stressati, influenzabili.
Per questo, aggiungiamo un fattore \(k \in [0, 1] \) che rappresenta quanto siamo irrazionali, e che cresce quando lo stress ambientale o sociale aumenta (in fondo, anche l’Architetto di Matrix Reloaded ammetteva che l’irrazionalità umana fosse l’errore sistemico necessario).

\( HDI_{\text{reale}} = k \cdot HDI_{\max} \)

dove \( k = \frac{1}{1 + \ln (1 + \text{somma delle penalità})} \). Per semplicità: più gravi sono le violazioni (per esempio, ambiente distrutto, disuguaglianza elevata, democrazia bassa), più \(k\) si abbassa e più il benessere reale crolla.

Nell’esempio: 

• Paese X: somma penalità \( \approx 3.64 \rightarrow k \approx 0.39 \rightarrow HDI_{\text{reale}} = 0.39 \cdot 90.36 \approx 35.24 \) ;
• Paese Y: somma penalità \( \approx 0.043 \rightarrow k \approx 0.96 \rightarrow HDI_{\text{reale}} = 0.96 \cdot 82.96 \approx 79.64 \) .

All’improvviso, la risposta è chiara: il Paese Y è molto meglio per viverci, anche se il suo HDI di partenza era più basso.

 

Valori di riferimento (per orientarsi)

Per facilitare il collocamento dei numeri, ecco alcuni dati reali indicativi (considerando gli anni 2023-2025 in base ai dati disponibili online):

Paese	HDI (max. 100) – 2023	Impronta Ecologica – 2024	Indice di Gini – 2025	Indice Democratico – 2023
Italia	91	4.4	0.34	7.7
Germania	96	4.2	0.34	8.8
Norvegia	97	4.5	0.27	9.8
Stati Uniti	94	7.5	0.42	7.9
Sudafrica	74	2.9	0.54	7.1
Soglie		1.3	0.15-0.35	8.0

Come si vede, nessun Paese ricco rispetta il vincolo ecologico (sono tutti sopra 1.3) e alcuni Paesi hanno indice di Gini sopra 0.35 o Democracy Index sotto 8. Il nostro modello non descrive il mondo com’è; descrive verso dove dovremmo andare.

E la guerra?

Nel vecchio modello (quello del PIL senza vincoli), la guerra può sembrare “razionale”: distruggi, ricostruisci, il PIL cresce, qualcuno si arricchisce.

Nel modello vincolato, la guerra è matematicamente perdente:

• abbatte l’ \(HDI \) (distrugge salute, istruzione, reddito);
• distrugge l’ambiente;
• polarizza la società (molte persone sotto la soglia di dignità, poche sopra quella di accumulo);
• fa esplodere il fattore k (irrazionalità collettiva).

Risultato: \( HDI_{\text{reale}} \) crolla. In questo modello, la pace non è un’opzione etica esterna: è una condizione necessaria per l’ottimalità.

Roberto Tortora, Che cosa ha a che fare la matematica con la pace?

Qualcuno potrebbe obiettare…

Uno scienziato sociale potrebbe dire: “Bella teoria, ma come ci arriviamo dal modello attuale? Ridistribuzioni così massicce farebbero crollare i mercati.”

Oppure: “Chi oggi detiene il potere trae vantaggio dal PIL senza vincoli. Perché dovrebbe accettare questo modello?”

Ed è vero. Questo articolo non descrive come fare la transizione, quello è compito della politica.
Questo articolo descrive verso dove dovremmo andare. Come diceva Platone, ripreso da Umberto Galimberti: “Le tecniche (economia, ingegneria) sanno come fare. Ma solo la politica sa se e perché farlo”.

 

Conclusione

Il PIL ci ha insegnato a correre senza guardare i muri. Questo modello propone un’alternativa: massimizza il benessere umano, ma non oltre i limiti ecologici, sociali e democratici. Non è una verità assoluta. È una bussola.

Fonte: Nonsoloambiente.it

E l’invito finale è questo: tu lettore prova a prendere i dati del tuo Paese (Gini, Indice Democratico, Impronta ecologica) e a metterli nelle formule sopra. Cosa ottieni? E, soprattutto, in che Paese vorresti vivere davvero?

 

 

Stefano Iannone, nato a Roma nel 1959, ha coltivato fin da giovane due grandi passioni: matematica e basket. Dopo 16 anni da giocatore professionista di basket (Serie A, B e C), ha portato la stessa disciplina e determinazione nello studio della matematica. Si è formato tra Italia e Stati Uniti, laureandomi in Educazione Fisica in Italia e poi in Matematica Applicata alla San Francisco State University. Ritornato a Roma ho conseguito un Master in “Codici e Numeri”, Università Tor Vergata di Roma. Dal 1998 al 2022 ha insegnato matematica alla Marymount International School di Roma, e dal 2009 è professore a contratto alla John Cabot University di Roma. Oltre all’insegnamento, gli piace scrivere di matematica  cercando di mostrare come questa disciplina sia presente nella nostra vita quotidiana. Crede fermamente che la matematica, come lo sport, possa essere un potente strumento di inclusione sociale e crescita personale. Sposato dal 1987, è padre di tre figli e nonno di un favoloso nipotino di 5 anni e di una favolosa neonata.