Una mini-serie a cura di Marco Trombetti, in cui si esplorano le vite di matematici straordinari per intelletto ma controversi per scelte, azioni o destini: figure in cui la brillantezza teorica convive con l’ombra, e dove la linea che separa rigore e ossessione, isolamento e violenza, si fa inquietantemente sottile. Non per assolvere né per condannare, ma per interrogarsi su un nodo scomodo: cosa accade quando il pensiero più lucido si separa dall’etica? In questo sesto episodio parleremo di uno tra i più prodigiosi matematici del XX secolo e del suo rapporto con il progetto Manhattan: John von Neumann. Trovate tutte le puntate qui.

La figura di cui vogliamo parlare oggi è profondamente diversa dalle precedenti. Genio matematico tra i più influenti del Novecento, la sua vicenda personale non si lega a episodi di criminalità, ma piuttosto a dilemmi morali e scelte eticamente controverse, legate soprattutto al suo coinvolgimento nel progetto Manhattan e alla riflessione sul ruolo della scienza nelle dinamiche politiche e militari del suo tempo. Stiamo parlando di John von Neumann.

È in effetti interessante notare come accanto al genio creativo, possano emergere interrogativi sempre attuali sul rapporto tra conoscenza, responsabilità e potere.

L’enfant prodige

Neumann János Lajos (1903–1957), nato a Budapest da una famiglia ebrea benestante, fu uno dei più prodigiosi matematici del XX secolo. Le cronache riportano che, a soli sei anni, stupiva gli ospiti recitando a memoria intere pagine dell’elenco telefonico dopo una rapida occhiata o risolvendo mentalmente divisioni tra numeri di otto cifre. Poco dopo era già in grado di conversare in greco antico e, intorno ai dieci anni, padroneggiava sei lingue: ungherese, tedesco, inglese, francese, latino e greco. Precocissimo, a sei anni aveva già assimilato il calcolo infinitesimale e discuteva di storia antica col suo precettore in greco classico.

A quindici anni iniziò a studiare l’analisi matematica avanzata sotto la guida dell’analista Gábor Szegő. Al loro primo incontro, Szegő rimase talmente sbalordito dal talento matematico e dalla rapidità di von Neumann che, come ricordò in seguito sua moglie, tornò a casa con le lacrime agli occhi. La sua velocità di conto fu successivamente notata anche da Enrico Fermi, il quale, parlando con Herbert L. Anderson, affermò: «Sai, Herb, Johnny riesce a fare calcoli a mente dieci volte più velocemente di me! E io riesco a farli dieci volte più velocemente di te, Herb, quindi puoi immaginare quanto sia impressionante Johnny!»

Dopo gli studi in ingegneria chimica, matematica e fisica tra Budapest, Berlino e Zurigo, si trasferì negli Stati Uniti, dove divenne una figura centrale a Princeton e all’Institute for Advanced Study. Da questo punto in poi decise di anglicizzare il suo nome in John, affiancandolo al cognome che già da tempo aveva aristocratizzato aggiungendovi il tedesco ‘‘von’’.

Contribuì in modo decisivo a campi diversissimi: logica matematica, meccanica quantistica, teoria degli insiemi, economia matematica (fu tra i fondatori della teoria dei giochi) e informatica (il suo modello di architettura è alla base dei moderni computer). Difatti, all’età di 19 anni, von Neumann aveva già pubblicato due eccezionali articoli matematici, in uno dei quali propone la definizione moderna di numero ordinale, superando così quella proposta da Georg Cantor.

Il progetto Manhattan e la guerra fredda

È ben noto che von Neumann fosse legato al Progetto Manhattan, dove ricoprì un ruolo strategico nello sviluppo della bomba atomica e, successivamente, della bomba all’idrogeno. Non pago di ciò, von Neumann fu tra gli scienziati che, certamente con grandissima dedizione alla causa, calcolarono l’altezza ottimale per massimizzare l’onda d’urto dell’esplosione, un dettaglio tecnico che si tradusse nell’enorme devastazione di Hiroshima e Nagasaki. von Neumann fu tra coloro che scelsero Hiroshima e Nagasaki come soggetti test ideali, sebbene la sua prima scelta fosse Kyoto.

Durante la Guerra Fredda divenne uno dei più influenti consulenti militari degli Stati Uniti. Collaborò allo sviluppo di strategie di deterrenza nucleare e indirettamente alla formulazione del principio della “Distruzione Mutua Assicurata” (MAD), secondo cui l’equilibrio geopolitico si sarebbe dovuto fondare, da lì in poi, sulla garanzia del reciproco annientamento. La sua visione era radicale: la guerra, per lui, era un problema di ottimizzazione. Una frase attribuita a von Neumann rispecchia questa visione. Per commentare l’esitazione americana a colpire preventivamente l’Unione Sovietica, avrebbe detto: “If you say why not bomb them tomorrow, I say why not today? If you say today at five o’clock, I say why not one o’clock?” (vedi [1]).

Il paradosso di Hausdorff–Banach–Tarski

Una delle sue idee matematiche più ‘‘esplosive’’ mette in relazione teoria dei gruppi e teoria della misura, svelando come i gruppi siano il vero cuore del paradosso di Hausdorff–Banach–Tarski.

Cominciamo ricordando che il problema della misura nella sua formulazione generale consiste nel far corrispondere ad ogni sottoinsieme limitato \(M\) di \(\mathbb{R}^n\) un numero reale non negativo \(\mu(M)\) tale che:

(a) per ogni successione numerabile di sottoinsiemi limitati \(\{A_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) a due a due disgiunti, si ha
\[
\mu\Big(\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n\Big) = \sum_{n \in \mathbb{N}} \mu(A_n);
\]

(b) se \(M\) è un sottoinsieme limitato di \(\mathbb{R}^n\) e \(M’\) è una sua immagine isometrica, allora
\[
\mu(M) = \mu(M’).
\]

Come ben noto, nemmeno una misura “buona” come quella di Lebesgue fornisce una soluzione a tale problema, poiché esistono insiemi limitati che non sono misurabili secondo Lebesgue. In effetti, la verità è che, almeno nella formulazione precedente, il problema della misura non ha mai soluzione, cosa dimostrata da Hausdorff agli inizi dei ‘900. Questi pensò così di sostituire la condizione (a) con la seguente più debole:

(\(a^\ast\)) per ogni successione finita \(A_1, \ldots, A_n\) di insiemi limitati di \(\mathbb{R}^n\) a due a due disgiunti, si ha
\[
\mu\Big(\bigcup_{i=1}^n A_i\Big) = \sum_{i=1}^n \mu(A_i).
\]

Grazie a questo indebolimento, il matematico tedesco riuscì a dotare \(\mathbb{R}^1\) e \(\mathbb{R}^2\) di una misura che verificasse (\(a^\ast\)) e provò che una tale misura non può esistere per \(\mathbb{R}^n\) con \(n \geq 3\). La dimostrazione di ciò prosegue per assurdo assumendo che esista una misura del genere su \(\mathbb{R}^n\) con \(n \geq 3\). In questo caso, grazie a delle tecniche sviluppate dallo stesso Hausdorff, è possibile definire una misura, indotta dalla prima, sugli insiemi limitati della superficie sferica bidimensionale \(\mathbb{S}^2\), ovviamente contenuta in \(\mathbb{R}^n\) (ma non in \(\mathbb{R}^2\)). Tuttavia, è possibile rimuovere dalla sfera \(\mathbb{S}^2\) un sottoinsieme numerabile \(N\) tale che \(\mathbb{S}^2 \setminus N\) sia l’unione disgiunta di \(3\) parti \(A, B\) e \(C\) tali che \(A\), \(B\), \(C\) e \(B \cup C\) siano tutte isometriche e quindi della stessa misura. Da ciò \(B \cup C\) dovrebbe misurare sia \(1/2\) sia \(2/3\), il che è assurdo.

L’idea geniale di von Neumann fu quella di capire che la differenza fondamentale tra \(\mathbb{S}^1\) e \(\mathbb{S}^n\) con \(n \ge 2\) risiede nei gruppi delle isometrie di questi e, più in particolare, nel fatto che il gruppo delle isometrie del primo non contenga gruppi liberi di rango \(2\), cosa invece vera per \(n \ge 2\).

La fine

Avvicinandosi alla morte, chiese la presenza di un sacerdote. Tuttavia, non trovò grande conforto nei sacramenti e rimase profondamente turbato e incapace di accettare la fine. A proposito delle sue convinzioni religiose, osservò che, finché esiste la possibilità di una dannazione eterna per i non credenti, è più logico essere un credente almeno alla fine. Morì da cattolico l’8 febbraio 1957, a 53 anni per un cancro forse causato dalle radiazioni.

Nonostante, cosa per certi versi sorprendente, fosse soggetto a ricorrenti dubbi sul proprio valore e sulla propria creatività, e ritenesse talvolta di non aver colto intuizioni fondamentali quanto altri contemporanei, la sua tecnica e capacità di penetrare ragionamenti complessi restavano straordinarie; le sue idee sono ancora oggi considerate tasselli fondamentali della matematica moderna.

 

 

Referenze

1. C. Blair, Jr.: ‘‘The Passing of a Great Mind’’, LIFE Magazine (25 Febbraio 1957), p.96.