I numeri primi non finiscono mai, ma sembra che la stessa cosa valga anche per le dimostrazioni stesse di questo fatto. Ecco allora una nuova dimostrazione del Teorema di Euclide sull’esistenza di infiniti numeri primi proposta da Alessandro Zaccagnini. Chi propone la prossima?

Ecco un’altra dimostrazione del Teorema di Euclide sull’esistenza di infiniti numeri primi, che a quanto ne so potrebbe essere originale e che usa la formula per la somma della serie geometrica. Questa si aggiunge a quelle che ho illustrato nella mia mini-serie ^{[1 ]}Zaccagnini, A. 2021. “\(\exists\infty\#p!\) La Serie!” Sito Web MaddMaths! https://maddmaths.simai.eu/in-evidenza/primi-0/., ma ne esistono moltissime altre: si colloca, per cosí dire, in una posizione intermedia fra quelle puramente elementari (Euclide) e quelle molto sofisticate (Eulero).

Il punto di partenza è un’osservazione sui numeri “decimali.” Scegliamo un intero \(N \ge 2\) come base di numerazione e supponiamo che \(N = p_1 \cdots p_k\), dove i \(p_j\) sono numeri primi distinti. Per completezza, quanto segue funziona lo stesso, con qualche piccola complicazione nei dettagli, anche se \(N\) ha dei fattori primi ripetuti, ma piú avanti ci servirà solo questo caso particolare.

L’osservazione chiave è questa: se \(b \ge 1\) è un numero intero divisibile solo per i numeri primi \(\in \{p_1, \dots, p_k\}\), allora qualunque sia l’intero \(a \ge 1\) il numero razionale \(a / b\) si scrive in base \(N\) come un numero “decimale” finito: infatti, se \(b = p_1^{\alpha_1} \cdots p_k^{\alpha_k}\), dove gli \(\alpha_j\) sono interi non negativi possiamo prendere \(\beta\) il massimo degli \(\alpha_j\) e scrivere \(M = p_1^{\beta – \alpha_1} \cdots p_k^{\beta – \alpha_k}\). Per costruzione \(M\) è un intero positivo e inoltre \(b M = N^{\beta}\). La frazione \(a / b\) è equivalente alla frazione \( (a M) / (b M) = (a M) / N^\beta\), la cui rappresentazione in base \(N\) si ottiene scrivendo \(a M\) in base \(N\) e poi spostando la virgola di \(\beta\) posizioni verso sinistra: è dunque una rappresentazione finita. Per esempio, se \(N = 10\) e prendiamo \(b = 320 = 2^6 \cdot 5\) allora possiamo scegliere \(\beta = 6\) ed \(M = 2^{6 – 6} \cdot 5^{6 – 1} = 5^5 = 3\,125\). Il numero \(3 / 320\) è uguale a \( (3 M) / (320 M) \) che a sua volta è uguale a \( 9\,375 / 1\,000\,000 = 0.009\,375\).

Se l’insieme \(\mathcal{P}\) dei numeri primi fosse finito lo potremmo elencare come abbiamo fatto nella dimostrazione originale del Teorema di Euclide (vedi la prima puntata della mini-serie), scrivendo \(\mathcal{P} = \{p_1, \dots, p_k \}\); poi gli associamo il numero \(N = p_1 \cdots p_k\). Per il Teorema fondamentale dell’aritmetica, ogni intero \(b \ge 1\) si può scrivere nella forma \(b = p_1^{\alpha_1} \cdots p_k^{\alpha_k}\) (dato che non ci sono altri numeri primi, per ipotesi), per opportuni esponenti \(\alpha_j \ge 0\), e quindi ogni frazione \( a / b \) ha una rappresentazione finita se scritta come numero “decimale” in base \(N\). In un certo senso, in questo caso esiste un denominatore “universale;” questo somiglia a quello che avrebbero voluto fare i babilonesi, che hanno scelto \(N = 60\) per rendere piú semplici la maggior parte dei calcoli con le frazioni.

Per concludere, consideriamo il numero \(x = (0.\overline{1})_N\); per quanto appena detto, \(x\) non può rappresentare un numero razionale, perché è un numero “decimale” con infinite cifre diverse da 0, ma la formula per la serie geometrica implica che \(x = (N – 1)^{-1}\). Questa contraddizione dimostra che \(\mathcal{P}\) non può essere finito.

Per esempio, quando \(\mathcal{P} = \{2, 5\}\) abbiamo \(N = 10\) e troviamo \(x = 0.\overline{1} = 1 / 9 \), che indubbiamente è razionale; dunque ci deve essere un numero primo, in questo caso 3, che non appartiene a \(\mathcal{P}\).

In realtà questa dimostrazione consiste, almeno parzialmente, in una riscrittura di quella di Euclide, che per la precisione corrisponde a considerare il numero \(y = (0.\overline{0n})_N\), dove \(n = N – 1\); infatti \(y = (N + 1)^{-1}\). In definitiva, anche qui usiamo il fatto che due interi consecutivi sono coprimi.

Naturalmente questa dimostrazione non ha l’importanza o la profondità di quella di Eulero discussa nella seconda puntata della mia serie: l’interesse sta nel fatto che usiamo elementi “estranei” alla pura aritmetica (la scrittura dei numeri razionali come numeri “decimali,” la serie geometrica), per ottenere un risultato sui numeri primi.

Immagine di copertina: Photo by Susan Holt Simpson on Unsplash

Alessandro Zaccagnini