Una perturbazione.
Quando si parla di onde, nell’intuizione comune si pensa subito alle onde del mare. L’idea base, in matematica, parte dalla stessa origine. Cos’e’ un’onda del mare? E’ un movimento d’acqua che distingue il mare mosso dal mare calmo. In un linguaggio fisico-matematico potremmo dire che un’onda è una perturbazione dello stato ”mare calmo” o ”mare a riposo”.

Una struttura che si propaga.

Generalmente, però, quando si parla di onde non si pensa a una perturbazione qualsiasi, ma ad una perturbazione che abbia una qualche struttura. Torniamo all’onda del mare: l’idea che ne abbiamo è di un profilo, di una forma, grosso modo identica, che si propaga lungo la superficie. Questo punto di vista si avvicina bene a quel che si intende per onda in matematica: un segnale/perturbazione con una precisa struttura che si propaga in un mezzo.

A questo punto, non è più necessario pensare alle onde del mare e si possono immaginare tantissimi altri fenomeni in cui compaiono oggetti dello stesso genere (dal punto di vista matematico). E’ proprio questa una delle peculiarità della matematica: riconoscere strutture astratte che si adattano a situazioni concrete diverse. Un esempio molto significativo di onda o di segnale che si propaga è dato dalle vibrazioni di una corda (ad esempio le vibrazioni delle corde di uno strumento musicale, la chitarra, il violino, ecc.) o le vibrazioni di una membrana (il tamburo ad esempio, o anche le membrane che abbiamo nell’orecchio interno e che ci permette di riconoscere i suoni). Fissiamo l’attenzione al caso di una corda di chitarra. Se pizzicata opportunamente questa comincerà ad oscillare mantenendo sempre la stessa forma e cambiando, periodicamente, in intensità di oscillazione. Questo tipo di vibrazione viene detto onda. E’ anche questo una perturbazione dello stato a riposo della corda e che ha una struttura ben precisa.

L’idea della sovrapposizione.
Qui la matematica si fa molto interessante (un peccato non poter scendere nei dettagli che richiedono un po’ di linguaggio specifico!). Cosa succede se perturbo una corda in un modo qualsiasi (cioè non in quel modo specifico che genera un’onda e di cui accennavo prima)? Un’idea estremamente profonda è che ogni possibile vibrazione di una corda si possa rappresentare come sovrapposizione, cioè come combinazione, di vibrazioni, per così dire, elementari, cioè di onde. Data una corda e’ possibile riconoscere tutte le vibrazioni particolari che hanno la forma di onda. Si tratta solo di poche tra le vibrazioni possibili. Quindi, prese separatamente, non spiegano come avvenga una vibrazione qualsiasi di una corda. Ma (e questo e’ un Teorema, cioè non e’ un fatto evidente, ma da dimostrare, chiarendo bene l’ambito di validità dello stesso) ogni possibile vibrazione si può rappresentare come l’effetto combinato di onde elementari che si manifestano contemporaneamente. E’ come dire che avendo i mattoni, possiamo costruire la casa. In matematica questo è (in una della sue versioni più semplici) quello che si chiama sviluppo in serie di Fourier e che ha moltissime estensioni/varianti/generalizzazioni. Il principio e’ esattamente quello del pittore che per dipingere un quadro ha bisogno della tavolozza con i colori. Combinandoli opportunamente crea la sua opera.

di Corrado Mascia

Corrado Mascia è professore associato in Analisi Matematica all’Università di Roma “Sapienza”. E’ docente dei corsi “Equazioni differenziali” e “Modelli analitici per le Applicazioni”.