Inizia una una nuova rubrica “Uno sguardo oltre la superficie“, a cura di Giuseppe Tinaglia. Uno spazio dove si osserva la geometria che ci circonda, ma anche oltre.

Apparso originariamente il 5 marzo 2017

Negli anni ‘80 Vasco Rossi cantava “La primavera insiste la mattina, dalla mia cucina guardo il mondo, tondo.” Senza saperlo, credo, Vasco Rossi annuiva ad un problema matematico molto appassionante. Cosa si può dire della forma della terra, guardandola dalla cucina, o magari della scrivania del mio ufficio?

Per investigare questo mistero, cominciamo con un quiz. Prendiamo queste tre figure geometriche, il piano, la superficie di un cilindro (che si estende all’infinito) e la superficie di una sfera. Se vi chiedessi di separare questi tre oggetti matematici in due gruppi nella maniera più naturale che vi viene in mente, cosa fareste?

A-Piano-cilindro in un gruppo e sfera nell’altro gruppo.

B-Piano-sfera in un gruppo e cilindro nell’altro.

C-Cilindro-sfera in un gruppo e piano nell’altro.

Ho il sospetto che molti di voi opterebbero per la risposta C, giustificando così la loro scelta: il piano deve stare da solo perché è dritto, mentre il cilindro e la sfera devono stare insieme perché sono entrambi curvi. Giusto? Ma avete mai riflettuto su cosa voglia dire veramente essere dritto o essere curvo?

Il ramo della matematica che, tra le altre cose, si fa custode delle definizioni di tanti concetti di uso comune come dritto, curvo, vicino, lontano è la geometria. La parola geometria deriva dal greco geo ovvero terra, e metron ovvero misura. Al giorno d’oggi la geometria si è a sua volta evoluta in tanti rami molto diversi l’uno dall’altro. Tuttavia ha le sue radici nell’esigenza pratica di studiare quantità come lunghezze e aree. È vero che il matematico geometra moderno studia concetti estremamente astratti. Ma è poi così astratto investigare la forma dell’universo?

Tornando alla domanda iniziale, io invece sceglierei la risposta A e la mia scelta la giustifico così. Se prendo un foglio (il piano) riesco ad arrotolarlo e a farne un cilindro. Ma, come spiego dopo, non è possibile farlo diventare una sfera senza accartocciarlo. Al cuore di questa differenza ci sono due tipi diversi di geometria, la geometria intrinseca e quella estrinseca. La geometria intrinseca studia le proprietà di un oggetto geometrico, diciamo una superficie, dal punto di vista di un essere vivente, chiamiamolo Barbara, che vive nella superficie. Mentre la geometria estrinseca studia una superficie dal punto di vista di Barbara che però è capace di osservare la superficie dall’esterno, come una specie di narratrice onnisciente. Notare come ho detto che Barbara vive NELLA superficie e non SULLA superficie. Dire sulla superficie presuppone l’esistenza di un qualcosa  fuori della superficie.

All’inizio lo studio della geometria della terra era necessariamente uno studio intrinseco. Solo quando noi esseri umani siamo riusciti ad andare nello spazio per osservarla da fuori, abbiamo potuto cominciarne uno studio estrinseco… Ad essere corretti, noi viviamo sulla superficie della terra e non nella superficie e uno studio estrinseco della terra veniva fatto anche prima di riuscire ad andare nello spazio. Veniva fatto, per esempio, osservando le ombre che la terra proietta sulla luna, o le ombre che gli oggetti proiettano sulla terra, ma questa è una parentesi che voglio aprire dopo. Chiamiamola Appendice 1.

Adesso dovrebbe essere più chiaro perché io avrei scelto la risposta A. Se Barbara fosse obbligata a vivere nella superficie del foglio, non sarebbe in grado di capire se vive su un foglio piano o un foglio arrotolato in un cilindro, o magari anche un cono. Qui sto assumendo che Barbara non abbia tempo o voglia di fare un giro attorno al cilindro e tornare al punto dove è partita, nel qual caso riuscirebbe a capire una differenza intrinseca tra il piano e il cilindro. Ma questa è un’altra parentesi che voglio aprire dopo. Chiamiamola Appendice 2. Quindi Barbara non sarebbe in grado di capire se vive su un foglio piano o arrotolato, ma riuscirebbe a capire che NON vive sulla superficie della sfera?

La risposta è si, e vi spiego come. Una quantità intrinseca che Barbara è in grado di misurare si chiama curvatura di Gauss. La curvatura di Gauss in un punto della superficie è un numero che ci da un’idea di come una superficie sia curva in quel punto. Senza andare troppo nei dettagli, per questo racconto ci basta sapere che la curvatura di Gauss di un foglio è zero in ogni punto e che si può dimostrare che la curvatura di Gauss di una qualsiasi superficie che si può ottenere dal foglio senza accartocciarlo, come per esempio il cilindro o il cono, è anch’essa zero. La curvatura di Gauss della sfera invece NON é zero. Infatti è il reciproco del quadrato del raggio. Una sfera di raggio due ha curvatura di Gauss un quarto in ogni suo punto. Se Barbara fosse obbligata a vivere nella superficie del foglio, il calcolo della curvatura di Gauss le darebbe come risultato zero. Così Barbara potrebbe dire di NON vivere sulla sfera. Zero, la curvatura del foglio, è diverso da NON zero, la curvatura della sfera! E se Barbara vivesse nella superficie della sfera, saprebbe che la curvatura di Gauss è NON zero, e quindi che NON vive nella superficie di un foglio. Chiaro no?

Stabilito che Barbara può usare la curvatura di Gauss per scoprire se NON vive su un foglio o se NON vive sulla sfera, può Barbara usare la curvatura di Gauss per scoprire dove vive? Se Barbara fosse obbligata a vivere nella superficie di una sfera, sarebbe capace di scoprirlo? Se Barbara fosse uno di noi, le sarebbe possibile dimostrare che la terra è una sfera? Lo so, lo so, la terra non è esattamente una sfera. Così come esiste la licenza poetica, lasciatemi semplificare il problema e introdurre una licenza, chiamiamola, licenza matematica. Se Barbara possedesse un razzo capace di portarla sulla luna, allora potrebbe comodamente osservare la terra e apprezzarne la sua forma sferica mentre sorseggia un mojito. Ma se non possedesse un razzo? Cosa sarebbe in grado di dire sulla geometria del nostro pianeta?

Il fatto che al giorno d’oggi siamo certamente in grado di fotografare la terra da fuori non rende la domanda meno interessante perché la domanda che ne segue è questa. Pronti? Cosa siamo in grado di dire sulla geometria del nostro universo? E vi sfido a fotografare l’universo da fuori. Si da il caso che la sfera e il piano siano oggetti matematici talmente simmetrici, talmente “unici” che sono caratterizzati dalla loro curvatura di Gauss che, vi ricordo per l’ultima volta, è zero per il piano e NON zero ma costante in ogni punto per la sfera. Barbara, dopo avere misurato che la curvatura di Gauss della terra in ogni punto è, più o meno, 0.0000000246368279 (compito arduo ma di per sé non impossibile), ne può dedurre che vive su una sfera di raggio 6371km. Brava Barbara! E l’universo? O meglio, il multi-verso? Chissà?

Veniamo alle appendici. Nell’Appendice 1 devo discutere questa obiezione che mi è parso di sentire mentre raccontavo di come Barbara deve fare per scoprire che la terra è rotonda in maniera intrinseca, ovvero senza utilizzare un razzo che la porta  fuori. Mi è parso di sentire un mormorio che diceva: certamente Cristoforo Colombo non ha calcolato la curvatura di Gauss della terra, allora come faceva a sapere che la terra è tonda?  Come ho detto anche prima, i nostri antenati studiavano la geometria della terra usando, per esempio, le ombre che la terra proietta sulla luna, o le ombre degli oggetti sulla terra. Ed è proprio usando questi studi che essi sono riusciti ad intuire che la terra fosse tonda. Tuttavia questi studi sono studi estrinseci: i raggi del sole che vengono usati in questi studi sono strumenti  estrinseci, cioè al di  fuori della superficie della terra!

Nell’Appendice 2 volevo invece spiegare cosa Barbara, se vivesse nella superficie di un foglio, potrebbe fare per capire se vive su un piano o, per esempio, su un cilindro. Come accennavo prima, ci sono metodi intrinseci per capirlo. Per esempio, se Barbara vivesse nella superficie di un foglio piano e decidesse di fare una passeggiata senza mai cambiare direzione, proseguendo su una linea retta, cioè andando dritto,  allora si allontanerebbe sempre di più dal suo punto di partenza e, in particolare, non tornerebbe mai dove è partita. In questo caso stiamo assumendo che il foglio sia infinito, altrimenti Barbara, prima o poi, raggiungerebbe la fine del suo mondo! Se invece Barbara vivesse nella superficie di un cilindro e decidesse di fare una passeggiata andando sempre  dritto, allora, osservando la superficie del cilindro, si vede che quello che succede dipende dalla direzione in cui Barbara ha deciso di camminare. Ci sono delle direzioni in cui, se prese, Barbara si allontanerebbe sempre di più dal suo punto di partenza e, in particolare, non tornerebbe mai dove è partita. Ma ci sono delle direzioni in cui ciò non accade. Infatti ci sono direzioni in cui, se prese, Barbara tornerebbe al punto di partenza! Quindi, anche se vivesse nella superficie del foglio, ci sono altri studi intrinseci che Barbara può fare per capire meglio la geometria del suo mondo!

Giuseppe Tinaglia, King’s College London. Sito.