I problemi dell'anonimo giochista 2.2 - Ancora terne pitagoriche

On December 5, 2017

Continua la rubrica di giochi matematici "un anonimo giochista".

Diamo la soluzione del problema posto nella scorsa puntata.

2.1 - Un ferragosto pitagorico (soluzione)

Ricordiamo che una terna pitagorica a,b,c è una terna di numeri interi positivi che verificano a^2+b^2=c^2, ovvero che rappresentano le misure intere dei lati di un triangolo rettangolo.

Un giorno a/b/c è detto giorno pitagorico se a,b,c è una terna pitagorica. Quali sono i giorni pitagorici che possiamo trovare nei calendari?

Innanzitutto, per rispondere, è utile sapere che le terne pitagoriche primitive (cioè non multiple di un'altra terna) sono tutte della forma n^2-m^2, 2nm, n^2+m^2, con n>m interi positivi. Verificare che quelle date sono terne pitagoriche (anche se alcune sono non primitive) è immediato:

(n^2-m^2)^2+(2nm)^2 = n^4-2n^2m^2+m^4+4n^2m^2 = n^4+2n^2m^2+m^4 = (n^2+m^2)^2\,.

Dimostrare che sono le uniche è un po' più complesso. Tale formula per generare terne pitagoriche era già presente negli Elementi di Euclide.

Utilizzando tale formula, possiamo osservare che se a/b/c è una data pitagorica, allora a\leq 31, b\leq12 e quindi

n^2+m^2 = c \leq \left[\sqrt{31^2+12^2}\right] = 33\,,

da cui segue immediatamente che 0<m<n<6. Le terne possibili pertanto sono le seguenti:

m=1,n=2: 3,4,5 (4 marzo e 3 aprile 2005)

m=1,n=3: 8,6,10 (8 giugno e 6 agosto 2010)

m=2,n=3: 5,12,13 (12 maggio e 5 dicembre 2013)

m=1,n=4: 15,8,17 (15 agosto 2017)

m=2,n=4: 12,16,20 (16 dicembre 2020)

m=3,n=4: 7,24,25 (24 luglio 2025)

m=1,n=5: 24,10,26 (24 ottobre 2026)

m=2,n=5: 21,20,29 (nessuna data valida)

In tutti gli altri casi  n^2+m^2\geq34, quindi non forniscono date valide.

A queste vanno aggiunte le terne pitagoriche loro multiple. L'unica mancante è 3 volte la terna 3,4,5, ovvero 9,12,15 (12 settembre e 9 dicembre 2015).

In ogni secolo sono pertanto presenti solo dodici giorni pitagorici.

2.2 - Ancora terne pitagoriche

Salutiamo i nostri lettori con due ultime domande: abbiamo visto che il numero più grande di una terna pitagorica è necessariamente esso stesso una somma di quadrati. E il numero più piccolo? Quali sono i possibili numeri a di una terna pitagorica a<b<c? E se aggiungo la richiesta che la terna sia primitiva?

Alberto Saracco

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