Una nuova mini-serie, fatta di video e articoli, di Alessandro Zaccagnini, matematico, esperto di teoria dei numeri, autore della fortunata serie “Dialogo sui numeri primi“, questa volta per raccontarci tante diverse dimostrazioni di un unico Teorema: 

Teorema (Euclide). Esistono infiniti numeri primi.

Questa è la quinta puntata (le altre le trovi qui).

 

La dimostrazione di Chebyshev

Numeri primi e coefficienti binomiali

Alla fine del XVIII secolo, il grande matematico tedesco Carl Friedrich Gauss propose una congettura sul numero dei numeri primi che non superano \(n\), quando \(n\) è molto grande. Indichiamo con \(\pi(n)\) questo numero; la congettura di Gauss è basata sui valori di \(\pi(n)\) calcolati fino a qualche milione: qui ne vediamo alcuni.

Gauss ha congetturato che per \(n\) molto grande si ha \[\pi(n) \sim \frac n{\log(n)}.\] In realtà, la congettura di Gauss vera e propria è ancora piú precisa, ma la discussione dettagliata ci porterebbe fuori tema. Solo un secolo dopo Pafnuty Chebyshev ha dimostrato che Gauss aveva visto giusto sull’ordine di grandezza della funzione \(\pi(n)\) e cioè che per \(n\) sufficientemente grande si ha \[c_1 \frac n{\log(n)} < \pi(n) < c_2 \frac n{\log(n)},\] dove \(c_1\) e \(c_2\) sono opportune costanti positive. La dimostrazione che vedremo utilizza i coefficienti binomiali \[{n \choose k}
=
\frac{n!}{k! (n – k)!}\] Ci serviranno due proprietà dei coefficienti binomiali: la prima è che sono tutti numeri interi positivi, e la seconda è che \[{n \choose k} \le 2^n\] per ogni \(k \in \{0\), …, \(n\}\). Questa dipende dal fatto che la somma dei coefficienti binomiali sulla riga \(n\)-esima vale appunto \(2^n\) e quindi ciascun addendo soddisfa questa disuguaglianza.

Una maggiorazione per il numero di numeri primi

Consideriamo il coefficiente binomiale centrale \({2 n \choose n}\): per esempio, per \(n = 16\) abbiamo \[{32 \choose 16}
=
\frac{17 \cdot 18 \cdot 19 \cdots 31 \cdot 32}{16!}
=
17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot 29 \cdot 31 \cdot m
\le
2^{32}\] Qui \(m\) è un certo intero positivo, poiché i numeri primi nell’intervallo \([17, 32]\) compaiono a numeratore ma non a denominatore del coefficiente binomiale a sinistra, e non possono essere “semplificati.” Dunque \[17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot 29 \cdot 31
\le
2^{32}.\] Ma \[17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot 29 \cdot 31
\ge
16 \cdot 16 \cdot 16 \cdot 16 \cdot 16\] Quindi abbiamo \[16^{\pi(32) – \pi(16)}
\le
17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot 29 \cdot 31
\le
{32 \choose 16}
\le
2^{32}.\] In generale \[n^{\pi(2 n) – \pi(n)} \le 2^{2 n}
\qquad\text{da cui}\qquad
\pi(2 n) – \pi(n) \le \frac{n}{\log(n)} \cdot 2 \log(2).\] Con qualche calcolo ulteriore, da questa disuguaglianza è possibile dedurre che un valore accettabile per \(c_2\) è \(2 \log(2)\).

Una stima dal basso

Introduciamo ora una successione di numeri razionali positivi \[I_m = \int_0^1 x^m (1 – x)^m \, \mathrm{d}x
=
\frac{m!^2}{(2 m + 1)!}
\le
\Bigl( \max_{x \in [0, 1]} x (1 – x) \Bigr)^m
=
\frac1{4^m}.\] L’uguaglianza a sinistra dipende dal fatto che \(I_m = B(m + 1, m + 1)\), la funzione Beta di Eulero, e quindi si può esprimere mediante valori della funzione Gamma, che nel nostro caso si riduce al fattoriale. Non è necessario per i nostri scopi conoscere il valore esatto di \(I_m\), ma è sufficiente una semplice stima. Svolgiamo i calcoli ricordando che la funzione integranda è un polinomio a coefficienti interi di grado \(2 m\) \[I_m
=
\int_0^1 \sum_{k = 0}^m {m \choose k} (-1)^k x^{2 m – k} \, \mathrm{d}x
=
\sum_{k = 0}^m {m \choose k} \frac{(-1)^{k}}{2 m – k + 1}.\] I denominatori nelle frazioni a destra sono interi nell’insieme \(\{m + 1\), …, \(2 m + 1\}\): quindi \[I_m \cdot \mathrm{mcm}\{1, 2, \dots, 2 m + 1 \} \in \mathbb{N}^*\] e quindi \(I_m \cdot \mathrm{mcm}\{1, 2, \dots, 2 m + 1 \} \ge 1\). In definitiva \[\mathrm{mcm}\{1, 2, \dots, 2 m + 1 \}
\ge
I_m^{-1} \ge 4^m.\] Prendiamo \(n = 2 m + 1\) e scriviamo per brevità \(k = \pi(n)\). Ricordiamo il procedimento per calcolare il minimo comune multiplo di un insieme di interi: sappiamo che \[\mathrm{mcm}\{ 1, 2, \dots, n \}
=
2^{\alpha_2} \cdot 3^{\alpha_3} \cdots p_k^{\alpha_k}\] per certi esponenti positivi \(\alpha_1\), …, \(\alpha_k\), e osserviamo che ciascun fattore in questo prodotto è \(\le n\) poiché, per esempio, la massima potenza di \(2\) che compare nella fattorizzazione di uno qualsiasi degli interi fra \(1\) ed \(n\) è certamente \(\le n\); analogamente per ciascuno degli altri numeri primi. Quindi \[\mathrm{mcm}\{ 1, 2, \dots, n \}
\le
n^k.\] In definitiva, mettendo insieme le disuguaglianze trovate \[n^k \ge \mathrm{mcm}\{ 1, 2, \dots, n \} \ge 2^{n – 1}.\] Passando poi ai logaritmi abbiamo \[k \log(n) = \pi(n) \log(n)
\ge
(n – 1) \log(2)\] cioè \[\pi(n) \ge \frac{n – 1}{\log(n)} \log(2).\] Quindi possiamo scegliere \(0 < c_1 < \log(2)\).