Una nuova mini-serie, fatta di video e articoli, di Alessandro Zaccagnini, matematico, esperto di teoria dei numeri, autore della fortunata serie “Dialogo sui numeri primi“, questa volta per raccontarci tante diverse dimostrazioni di un unico Teorema: 

Teorema (Euclide). Esistono infiniti numeri primi.

Questa è la quinta puntata (le altre le trovi qui).

 

La dimostrazione di Chebyshev

Numeri primi e coefficienti binomiali

Alla fine del XVIII secolo, il grande matematico tedesco Carl Friedrich Gauss propose una congettura sul numero dei numeri primi che non superano $n$, quando $n$ è molto grande. Indichiamo con $\pi(n)$ questo numero; la congettura di Gauss è basata sui valori di $\pi(n)$ calcolati fino a qualche milione: qui ne vediamo alcuni.

Gauss ha congetturato che per $n$ molto grande si ha $$\pi(n) \sim \frac n{\log(n)}.$$ In realtà, la congettura di Gauss vera e propria è ancora piú precisa, ma la discussione dettagliata ci porterebbe fuori tema. Solo un secolo dopo Pafnuty Chebyshev ha dimostrato che Gauss aveva visto giusto sull’ordine di grandezza della funzione $\pi(n)$ e cioè che per $n$ sufficientemente grande si ha $$c_1 \frac n{\log(n)} < \pi(n) < c_2 \frac n{\log(n)},$$ dove $c_1$ e $c_2$ sono opportune costanti positive. La dimostrazione che vedremo utilizza i coefficienti binomiali $${n \choose k} = \frac{n!}{k! (n – k)!}$$ Ci serviranno due proprietà dei coefficienti binomiali: la prima è che sono tutti numeri interi positivi, e la seconda è che $${n \choose k} \le 2^n$$ per ogni $k \in \{0$, …, $n\}$. Questa dipende dal fatto che la somma dei coefficienti binomiali sulla riga $n$-esima vale appunto $2^n$ e quindi ciascun addendo soddisfa questa disuguaglianza.

Una maggiorazione per il numero di numeri primi

Consideriamo il coefficiente binomiale centrale ${2 n \choose n}$: per esempio, per $n = 16$ abbiamo $${32 \choose 16} = \frac{17 \cdot 18 \cdot 19 \cdots 31 \cdot 32}{16!} = 17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot 29 \cdot 31 \cdot m \le 2^{32}$$ Qui $m$ è un certo intero positivo, poiché i numeri primi nell’intervallo $[17, 32]$ compaiono a numeratore ma non a denominatore del coefficiente binomiale a sinistra, e non possono essere “semplificati.” Dunque $$17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot 29 \cdot 31 \le 2^{32}.$$ Ma $$17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot 29 \cdot 31 \ge 16 \cdot 16 \cdot 16 \cdot 16 \cdot 16$$ Quindi abbiamo $$16^{\pi(32) – \pi(16)} \le 17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot 29 \cdot 31 \le {32 \choose 16} \le 2^{32}.$$ In generale $$n^{\pi(2 n) – \pi(n)} \le 2^{2 n} \qquad\text{da cui}\qquad \pi(2 n) – \pi(n) \le \frac{n}{\log(n)} \cdot 2 \log(2).$$ Con qualche calcolo ulteriore, da questa disuguaglianza è possibile dedurre che un valore accettabile per $c_2$ è $2 \log(2)$.

Una stima dal basso

Introduciamo ora una successione di numeri razionali positivi $$I_m = \int_0^1 x^m (1 – x)^m \, \mathrm{d}x = \frac{m!^2}{(2 m + 1)!} \le \Bigl( \max_{x \in [0, 1]} x (1 – x) \Bigr)^m = \frac1{4^m}.$$ L’uguaglianza a sinistra dipende dal fatto che $I_m = B(m + 1, m + 1)$, la funzione Beta di Eulero, e quindi si può esprimere mediante valori della funzione Gamma, che nel nostro caso si riduce al fattoriale. Non è necessario per i nostri scopi conoscere il valore esatto di $I_m$, ma è sufficiente una semplice stima. Svolgiamo i calcoli ricordando che la funzione integranda è un polinomio a coefficienti interi di grado $2 m$ $$I_m = \int_0^1 \sum_{k = 0}^m {m \choose k} (-1)^k x^{2 m – k} \, \mathrm{d}x = \sum_{k = 0}^m {m \choose k} \frac{(-1)^{k}}{2 m – k + 1}.$$ I denominatori nelle frazioni a destra sono interi nell’insieme $\{m + 1$, …, $2 m + 1\}$: quindi $$I_m \cdot \mathrm{mcm}\{1, 2, \dots, 2 m + 1 \} \in \mathbb{N}^*$$ e quindi $I_m \cdot \mathrm{mcm}\{1, 2, \dots, 2 m + 1 \} \ge 1$. In definitiva $$\mathrm{mcm}\{1, 2, \dots, 2 m + 1 \} \ge I_m^{-1} \ge 4^m.$$ Prendiamo $n = 2 m + 1$ e scriviamo per brevità $k = \pi(n)$. Ricordiamo il procedimento per calcolare il minimo comune multiplo di un insieme di interi: sappiamo che $$\mathrm{mcm}\{ 1, 2, \dots, n \} = 2^{\alpha_2} \cdot 3^{\alpha_3} \cdots p_k^{\alpha_k}$$ per certi esponenti positivi $\alpha_1$, …, $\alpha_k$, e osserviamo che ciascun fattore in questo prodotto è $\le n$ poiché, per esempio, la massima potenza di $2$ che compare nella fattorizzazione di uno qualsiasi degli interi fra $1$ ed $n$ è certamente $\le n$; analogamente per ciascuno degli altri numeri primi. Quindi $$\mathrm{mcm}\{ 1, 2, \dots, n \} \le n^k.$$ In definitiva, mettendo insieme le disuguaglianze trovate $$n^k \ge \mathrm{mcm}\{ 1, 2, \dots, n \} \ge 2^{n – 1}.$$ Passando poi ai logaritmi abbiamo $$k \log(n) = \pi(n) \log(n) \ge (n – 1) \log(2)$$ cioè $$\pi(n) \ge \frac{n – 1}{\log(n)} \log(2).$$ Quindi possiamo scegliere $0 < c_1 < \log(2)$.