Alessandro Zaccagnini ci propone un suo “Dialogo sui numeri primi”, un esercizio di stile in cui cercherà di parlare dei numeri primi in modo interessante senza usare formule, o quasi. Nel dialogo, che qui presentiamo a puntate, o meglio “giornate”, troveremo tre personaggi presi a prestito da Galileo: Salviati, che è un copernicano (un teorico dei numeri analitico), Sagredo, che è un patrizio (un matematico di un altro settore), e Simplicio, che è un tolemaico (un dilettante). Questa è la prima giornata, nella quale si discute della natura dei numeri primi. Tutte le puntate le troverete qui (link).

Giornata prima, nella quale si discute della natura dei numeri primi

[All’aprirsi del sipario scopriamo tre amici seduti in comode poltrone di vimini all’ombra di un grande albero; ai loro piedi, un basso tavolino con delle carte e dei libri; da un lato, un altro tavolo con vassoi pieni di frutta e dolci, e ogni tipo di bevande; i tre amici attingono senza sosta. Salviati al centro, alla sua destra Sagredo; alla sinistra Simplicio]

Salviati. Ci troviamo riuniti nella villa dell’amico Sagredo a discutere di uno degli argomenti piú affascinanti della matematica: i numeri primi.

Sagredo. Nel darvi il benvenuto nella mia casa, spero che questo luogo sia propizio alla nostra conversazione, che attendo con ansia da molto tempo. Aggiungo che parte del fascino sta nel fatto che possiamo andare direttamente in medias res, senza dover dare complicate definizioni preliminari.

Simplicio. Ringrazio l’amico Sagredo per l’ospitalità e per aver organizzato questo incontro. Non nascondo la mia curiosità: ho letto molte cose sui numeri primi e ho anche fatto qualche indagine personale; ora vorrei capire se ho scoperto qualcosa di interessante.

Salviati. Sagredo ha ragione, ma nonostante tutto è necessario circoscrivere l’oggetto del nostro studio e dare una definizione rigorosa. La vexata quæstio è dunque: che cosa è un numero primo? Che cosa non è un numero primo?

Simplicio. Un numero intero positivo, divisibile solo per 1 e per sé stesso, come è scritto nel mio libro delle scuole medie.

Sagredo. Dunque per te il numero 1 è primo?

Simplicio. Sí, perché, c’è qualcosa di male?

Salviati. È una definizione scomoda, perché costringe a fare delle eccezioni. La definizione corrente è che un intero è un numero primo se ha esattamente due divisori, come 7, mentre 1 ha un divisore solo.

Simplicio. E in che senso dici che la mia definizione è scomoda?

Sagredo. Proprio per il motivo che ha appena detto Salviati.

Simplicio. E cioè?

Sagredo. Con la tua definizione tutti i numeri primi hanno esattamente due divisori, tranne il numero 1 che ne ha uno solo; in altre parole, un elemento del tuo insieme ha caratteristiche uniche. A noi matematici non piace dare definizioni in questo modo se è possibile farne a meno.

Salviati. Pensa anche al Teorema Fondamentale dell’Aritmetica: ogni intero positivo si decompone in fattori primi in modo unico, a parte l’ordine. Se includi 1 fra i numeri primi devi formulare questo teorema in un altro modo, che è meno naturale.

Sagredo. Perché potresti aggiungere una potenza arbitraria di 1 all’elenco dei fattori primi di un intero.

Salviati. Anche in altre situazioni saremmo costretti a dare una definizione di certe proprietà per tutti i numeri primi diversi da 1, e un’altra valida solo per il numero 1; mi viene in mente la funzione di Eulero. Dobbiamo esaminare definizioni alternative e fra quelle possibili scegliere quella che risulta piú appropriata per i nostri scopi.

Simplicio. Dunque i matematici possono cambiare le loro definizioni?

Sagredo. Succede di rado, ma succede. E se ci pensi, non siamo gli unici a farlo.

Simplicio. A chi ti riferisci?

Sagredo. Agli astronomi, per esempio. Sul mio libro delle scuole elementari c’è scritto che il sistema solare ha nove pianeti: Mercurio, Venere, Terra, Marte, Giove, Saturno, Urano, Nettuno e Plutone. Questi sono i pianeti secondo la definizione dell’epoca.

Simplicio. Ebbene?

Sagredo. Gli astronomi hanno aggiornato di recente la definizione di pianeta, di fatto escludendo Plutone, che ora è classificato come “pianeta nano.” Quindi il sistema solare ha otto pianeti veri e propri e un certo numero di pianeti nani, tra cui per l’appunto Plutone.

Simplicio. E cosa cambia per noi?

Sagredo. Per noi non cambia assolutamente niente, ma per gli astronomi è utile avere una definizione chiara e non ambigua. Evidentemente, per loro l’ultima definizione è preferibile alla precedente e quindi l’hanno cambiata.

Salviati. Allo stesso modo, nella teoria degli anelli, che studia in generale le proprietà di sistemi numerici simili ai numeri interi, gli elementi come 1 sono classificati a parte e rientrano nelle “unità,” avendo caratteristiche molto peculiari dal punto di vista della moltiplicazione.

Sagredo. È uno di quei casi in cui è necessario avere la prospettiva giusta.

Simplicio. Cosa intendi dire?

Sagredo. Guardare le cose da un livello piú astratto ci aiuta a capire meglio il caso concreto che stiamo studiando.

Salviati. Nella teoria degli anelli a cui ho appena fatto riferimento si distingue ulteriormente fra elemento primo ed elemento irriducibile. Non avremo bisogno di questa distinzione: ne parlo perché è importante sapere che talvolta le definizioni che possono sembrare piú naturali non si rivelano comode da usare all’atto pratico.

Simplicio. Non mi hai ancora pienamente convinto, ma ci penserò questa sera dopo cena.

Salviati. Un vantaggio della mia definizione è che si tratta di una definizione positiva invece che negativa: un numero è primo se ha esattamente due divisori. L’altra definizione è negativa: un numero è primo se non ha altri divisori e rimane l’ambiguità su come classificare il numero 1.

Sagredo. E comunque, Simplicio, come principio generale devi cercare le definizioni matematiche nei testi universitari piuttosto che nei libri delle scuole primarie; non credi, Salviati?

Salviati. Mi sembra saggio! La mia maestra delle elementari mi ha detto che \(\frac43\) non è una frazione e che i diametri di un cerchio non sono corde, in base a certe sue definizioni.

Sagredo. Raccapricciante!

Salviati. Ti risparmio le sue motivazioni. Ha certamente studiato su libri concepiti un secolo fa …

Sagredo. Di cosa vogliamo parlare, domani e nei prossimi giorni?

Salviati. Non avere fretta, Sagredo. Ho preparato un programma molto ricco e non ci mancheranno gli argomenti di conversazione, credimi.

Simplicio. Ho molte domande da farti anche io. E poi devo mostrarti i risultati delle mie ricerche!

Salviati. [Alza gli occhi verso il cielo] Ci sarà tempo per tutte le tue domande. Abbi pazienza qualche giorno.

Sagredo. Allora possiamo trasferirci sotto la veranda perché il pranzo è servito.

Salviati. E, ricordando il livello delle tue cucine, non vedo l’ora di assaggiare qualche nuovo manicaretto!

Sagredo. Non resterete delusi, mi auguro: cominceremo con dei piatti tradizionali, e nei prossimi giorni potremo gustare piatti piú raffinati. Nel pomeriggio, potremo riunirci di nuovo qui per ascoltare della buona musica dal vivo: alcuni amici suoneranno per noi i Concerti Brandeburghesi.

[I tre amici si alzano pigramente ed escono verso la veranda]

Fine della prima giornata

Alessandro Zaccagnini