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Giovedì 11 febbraio, all’età di 96 anni, è morto il matematico Isadore Singer, uno dei grandi matematici del XX secolo. Vi proponiamo su di lui un ricordo di Paolo Piazza.

Primi mesi del 1963. Ufficio di Isadore Singer, in sabbatico ad Oxford.
Entra Michael Atiyah.
Atiyah: “Isadore, I would like to ask you a question. Why is the \(\widehat{A}\) genus of a spin manifold an integer ?”
Singer: “Michael, why do you ask this question ? You know the answer very well”
Atiyah: “Yes, I know the answer, but I feel there is a deeper reason for it.”

Queste poche battute, riportate da Isadore Singer in varie interviste, sono all’origine di una delle grandi epopee della Matematica moderna, la teoria dell’indice di Atiyah-Singer. Prima di descrivere il contenuto della domanda di Atiyah e la risposta che Atiyah e Singer riuscirono a dare in soli 9 mesi, vorrei scrivere brevemente di Singer come persona.

Isadore Singer, Is per i molti matematici che lo frequentavano, era una persona squisita. Lo conobbi all’MIT, durante il dottorato. Singer mi era stato assegnato come “tutor” e così un giorno di Settembre del 1986, mio primo anno di dottorato, bussai alla porta del suo ufficio, con non poca trepidazione. Singer mi dette degli ottimi consigli sui corsi da seguire; inevitabilmente finimmo con il parlare del teorema dell’indice, anche perché la mia tesi di laurea verteva su quell’argomento ed io volevo mostrargli tutto il mio sapere. Menzionai quindi Gelfand, perché la vulgata a quei tempi era che Atiyah e Singer avessero dimostrato la loro celebre formula in risposta ad una congettura di Gelfand. Singer mi corresse molto educatamente e mi raccontò la storia che ho riportato in apertura. Di lui ricordo l’estrema gentilezza, il suo parlare pacato, il suo sorriso. Lo rincontrai per l’ultima volta qui a Roma, in occasione della laurea honoris causa che Tor Vergata gli aveva assegnato e fu, come sempre, cordialissimo.

Per capire la domanda che Atiyah pose a Singer occorre fare un passo indietro e parlare di complessità topologica delle varietà differenziabili. Una varietà differenziabile di dimensione due è una superficie; pensate alla superficie sferica (un pallone), oppure alla superficie torica (una camera d’aria di una ruota). Le varietà differenziabili di dimensione due si presentano localmente come un disco nel piano euclideo, ma globalmente sono più complicate. Le varietà differenziabili di dimensione \(n\) sono una generalizzazione delle superfici; localmente sono come dei “dischi” in spazi euclidei di dimensione \(n\) ma globalmente possono essere assai più complesse. Ci sono molti modi per misurare questa complessità. Si può misurare, ad esempio, la ricchezza di alcune strutture algebriche associate alla nostra varietà differenziabile, quali, ad esempio, i gruppi di omotopia, i gruppi di omologia, i gruppi di bordismo, i gruppi di K-Teoria. Questi metodi si applicano di fatto ad un qualsiasi spazio topologico. Un altro metodo, valido solo per le varietà differenziabili, è quello di misurare la possibilità di definire \(k\) campi di vettori linearmente indipendenti in ogni punto della varietà, con \(k\leq n\). Questa idea porta alla definizione di alcuni numeri caratteristici: molto approssimativamente possiamo dire che l’annullarsi di questi numeri ci dice che la nostra varietà differenziabile non è molto complessa dal punto di vista topologico. Il genere \(\widehat{A}\) di cui parlava Atiyah è un tale numero; è ottenuto, come ogni numero caratteristico, integrando una forma differenziale caratteristica sulla varietà. Per varietà differenziabili spin (pensate a spin come a qualcosa di un po’ più forte di orientabile) questo numero caratteristico è, molto sorprendentemente, un intero. E da qui nasceva la domanda di Atiyah.

Singer iniziò a pensare molto attivamente alla domanda di Atiyah e presto comprese che il genere \(\widehat{A}\) era l’indice di un operatore differenziale. Facciamo una piccola pausa di natura squisitamente analitica. Se \(V\) è uno spazio vettoriale di dimensione finita e \(T:V\to V\) è un operatore lineare, allora l’indice di \(T\), e cioè la dimensione del nucleo \({\rm Ker}\, T\) meno la dimensione del conucleo \({\rm coker}\, T:=V/{\rm Im}T\), \[{\rm ind}\, T= \dim {\rm Ker}\, T – \dim {\rm coker}\, T\] è sempre uguale a zero. In dimensione infinita non è detto che nucleo e conucleo abbiano dimensione finita, ma se ciò accade allora l’indice può benissimo essere diverso da zero. Un operatore differenziale lineare ellittico su una varietà differenziabile compatta ha indice finito, in generale non-nullo. Ovviamente tale indice è un numero intero.

Singer, grazie al suo background in Fisica, capì che su una varietà spin esiste una generalizzazione dell’operatore di Dirac (quello con le matrici di Pauli); la congettura alla quale arrivarono rapidamente fu quindi che quell’operatore avesse indice (un intero !) precisamente uguale al genere \(\widehat{A}\). A partire da questo punto Atiyah e Singer congetturarono una formula generale, valida per l’indice di un qualsiasi operatore ellittico, e in pochi mesi la dimostrarono. La formula esprime l’indice di un operatore ellittico come un integrale sulla varietà di una forma differenziale che coinvolge il simbolo principale dell’operatore ed una forma differenziale caratteristica della varietà. Per le varietà spin e l’operatore di Dirac generalizzato definito da Atiyah e Singer, l’integrando risulta essere uguale a quello che definisce il genere \(\widehat{A}\). Di fatto, in analogia con questo particolare esempio, per tutti gli operatori ellittici “geometrici” la forma differenziale che coinvolge il simbolo principale è calcolabile in termini della geometria della varietà e questo fornisce un metodo per calcolare l’indice di questi operatori, un ente ovviamente analitico, in termini puramente geometrici.

Con la formula dell’indice di Atiyah-Singer iniziava un’avventura scientifica che dopo quasi 50 anni è ancora in corso e che è ben lungi dall’esaurirsi.

Pensando alla formula dell’indice mi vengono in mente tante cose:

– la sua bellezza e la sua eleganza;
– il numero molto alto di dimostrazioni diverse, ognuna però con un nocciolo duro; non esiste una dimostrazione “facile” della formula di Atiyah-Singer;
– la sua trasversalità rispetto a vari campi della Matematica; geometria, analisi, topologia, algebra, vengono combinati insieme; si abbattono barriere, si celebra l’unità della Matematica;
– il numero impressionante di sviluppi e generalizzazioni, con collegamenti affascinanti fra molti di questi sviluppi; si parla giustamente di teoria dell’indice, e non di teorema dell’indice; vedo il teorema dell’indice originario al centro di un’enorme ragnatela che, partendo dal centro, si allarga, toccando tanti campi della matematica e della fisica e stabilendo nuovi legami fra questi campi;
– la fecondità di questo teorema è un’altra sua caratteristica: interi campi della Matematica, come ad esempio la geometria non-commutativa à la Alain Connes, nascono da generalizzazioni del teorema dell’indice;
– la sua applicabilità (e quella dei suoi sviluppi) in campi diversissimi della Matematica (dalla teoria del numeri, alla geometria differenziale, alle algebre di operatori, alla teoria delle rappresentazioni, alla geometria simplettica, alla topologia differenziale e alla topologia algebrica) e della Fisica Teorica (teoria della anomalie, teoria di Gauge, teoria di Seiberg-Witten, teoria delle stringhe..) è un altro punto saliente di questo teorema.

I contributi scientifici di Isadore Singer non si limitano però alla sua collaborazione con Atiyah e ne menzionerò soltanto qualcuno. Sua e di McKean è l’idea di utilizzare l’equazione del calore per dimostrare la formula dell’indice; un’intuizione che si è rilevata giustissima e che ha aperto un filone di ricerca ancora oggi attivissimo. Insieme a Ray, Singer definí un analogo analitico della torsione topologica di Reidemester e congetturò che questi due numeri fossero uguali (poi dimostrato indipendentemente da Jeff Cheeger e Werner Müller). Queste idee sono poi state sviluppate da Jean-Michel Bismut, con applicazioni sorprendenti e profonde alla geometria aritmetica.

Singer fu fra gli artefici della fruttuosa interazione fra fisici teorici e matematici che iniziò negli anni ottanta, con l’avvento della teoria delle stringhe; celebre il seminario che organizzava all’MIT per favorire questa interazione. Ho una conoscenza molto limitata di questi argomenti, acquisita per osmosi da seminari divulgativi e qualche lettura, e quindi preferisco dare solo un accenno, ma sia chiaro che il collegamento con la Fisica è stato un punto cruciale dell’attività scientifica di Singer negli ultimi 30 anni sella sua carriera. Per apprezzare meglio questo punto riporto la motivazione ufficiale per il premio Abel 2004 ad Atiyah e Singer:

the discovery and the proof of the Index Theorem connecting geometry and analysis in a surprising way and your outstanding role in building new bridges between mathematics and theoretical physics.

Ma Isadore Singer non era solo ricerca pura: è fra i fondatori dell’MSRI di Berkeley insieme a Chern e Moore; ha servito in varie importanti commissioni: il National Research Council, la National Academy of Science, il White House Science Council, la commissione presidenziale per l’assegnazione della National Medal of Science.

Paolo Piazza

Per approfondire la vita e le opere di questo indiscusso protagonista della Matematica del XX secolo vi consiglio:

 

Foto di copertina: Isadore M. Singer at Berkeley, California in 1977. George M. Bergman, CC BY-SA 4.0 <https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0>, via Wikimedia Commons

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