Risposte ai problemi di Archimede EUREKA del numero 3/2016

On January 3, 2017
eureka

Pubblichiamo in tre pdf separati (e scaricabili) le risposte pervenuteci ai questi di Archimede EUREKA del numero di Archimede 3/2016, a cura di Massimo Gobbino.

Problema 408

Si tratta di un classico problema di combinatoria con retrogusto aritmetico. Per la domanda (a) basta esibire un algoritmo che gira una singola moneta. Il punto essenziale qui è che a e b sono primi tra di loro, e le soluzioni dell'equazione di Bezout

ma+nb=1

possono essere scelte abbastanza piccole rispetto al numero di monete in gioco.

Nella domanda (b) invece il punto essenziale è che a e b hanno massimo comun divisore maggiore di 1, e in questo caso è impossibile girare solo una moneta che sta ad un estremo della fila, come mostrato in via del tutto elementare nelle soluzioni di Caterina Armao e di Gino Porru.

Problema 409

Questo è un problema di algebra lineare, ancora una volta con retrogusto aritmetico. Il punto essenziale è trovare una formula chiusa per la potenza n-esima della matrice. Al di là delle dimostrazioni induttive, la maniera più veloce di giungere a questa formula è forse quella proposta da Vanni Gorni, e basata in fondo sul binomio di Newton e sul fatto che le matrici con tutti 0 sulla o sotto la diagonale sono nilpotenti. Una volta trovata la formula chiusa, non resta che scegliere opportunamente i valori dei parametri, per la quale rimandiamo alle soluzioni allegate.

Problema 410

"Potenza della potenza", verrebbe da commentare!

Come evidenziato nelle soluzioni di Alessandro Pieragalli e Gino Porru, la tesi è equivalente a dimostrare che la potenza dell'ortocentro rispetto alle due circonferenze è uguale. Per calcolare tale potenza, l'osservazione fondamentale è che le due circonferenze passano per i piedi delle altezze uscenti da A e B, rispettivamente, e dunque la potenza dell'ortocentro rispetto ad ognuna di tali circonferenze è proprio il prodotto delle lunghezze dei due segmenti in cui l'ortocentro divide la relativa altezza. Ora è ben noto che tale prodotto non dipende dall'altezza scelta, fatto che si può dimostrare osservando che l'ortocentro è il centro radicale delle 3 circonferenze che hanno come diametri i 3 lati.

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