Il DSMC (metodo di Simulazione Diretta Monte Carlo) è uno strumento numerico di indagine per la simulazione del comportamento di un gas rarefatto, proposto dal Professore Emerito Graeme Bird presso il Dipartimento di Ingegneria Aeronautica dell’Università di Sydney nei primi anni Sessanta. Mario Pulvirenti lo ha intervistato per noi. 

Il metodo SDMC di Bird è ancora oggi molto popolare, ed è stato impiegato con successo nello studio del flusso dei gas intorno ai veicoli utilizzati per il rientro delle missioni spaziali nell’atmosfera. Un gas rarefatto, di solito è matematicamente descritto dall’equazione di Boltzmann, che rappresentano una riduzione di uso più semplice delle leggi di Newton, (in un regime di bassa densità). Tuttavia il DSMC è qualcosa di diverso da una semplice discretizzazione dell’equazione di Boltzmann e la parola “diretto”significa che tratta direttamente con i sistemi di particelle anziché con un’approssimazione dell’equazione di Boltzmann. Il metodo è stocastico e oggi abbiamo la prova della convergenza del metodo alle soluzioni dell’equazione di Boltzmann.

Proviamo prima a dare una descrizione del metodo. Consideriamo un sistema di N particelle identiche che si muovono liberamente in un piccolo intervallo di tempo dt. Per il successivo dt è possibile usare argomenti probabilistici per determinare le collisioni di alcune coppie di particelle (ogni volta che si trovano abbastanza vicine). Successivamente, la procedura può essere ripetuta (per maggiori dettagli si veda per esempio la pagina http://www.gab.com.au/). Questo metodo, oltre a essere molto interessante per le sue applicazioni tecnologiche, si basa, da un punto di vista probabilistico, sulla legge dei grandi numeri, come solitamente accade nella Teoria Cinetica (una classe di idee di questo tipo è stata sviluppata da M. Kac negli anni Cinquanta)

Ho incontrato il Prof. Bird in occasione della 29esima edizione della conferenza Rarefied Gas Dynamics che si è tenuta quest’anno a Xi’an (Cina) (http://rgd29.org/) che ha ospitato anche uno speciale seminario dedicato ai recenti sviluppi del metodo. Ho avuto allora l’idea di fare al prof. Bird alcune domande che ritengo di interesse per la comunità matematica, e lui è stato così gentile da rispondermi.

Come e quando hai concepito il DSMC?

Il lavoro con il DSMC è iniziato nel 1961 perché avevo da tempo l’ambizione di simulare i flussi di gas a livello molecolare e ho provato a farlo non appena ho avuto accesso a un computer digitale. Ho poi lavorato presso il Dipartimento di Ingegneria Aeronautica presso l’Università di Sydney (mi sono laureato in quella Università nel 1953 in fisica e ingegneria). Il DSMC non ha avuto praticamente alcun impatto fino a quando i computer non sono diventati più veloci ed è stato possibile tentare la sua applicazione a problemi più complessi. Oltre a essere incredibilmente lenti per gli standard moderni, i computer dell’epoca erano anche estremamente costosi e il lavoro è stato possibile solo perché ho avuto un sostegno significativo dallo United States Air Force Office of Scientific Research. Il primo contatto con i matematici che lavoravano sull’equazione di Boltzmann è avvenuto quando ci siamo trovati  in concorrenza per i fondi di ricerca. Mentre questo ha portato a una certa ostilità, molti altri ricercatori manifestavano obiezioni per un metodo che era interamente basato sulla simulazione fisica e non faceva alcun riferimento alle equazioni accettate.

Il legame tra il DSMC e l’equazione di Boltzmann non è ovvio a priori, anche se i risultati di convergenza oggi sono noti. Come preferisci considerare il DSMC? Si tratta di una approssimazione fedele, diretta di un gas reale rarefatto o piuttosto è un algoritmo per simulare soluzioni per l’equazione di Boltzmann?

Per i primi trent’anni dal DSMC, veniva sempre fuori una domanda un po’ sprezzante: “ma è una soluzione dell’equazione di Boltzmann?”. E’ stato dunque un sollievo per me quando, nel 1990, è stato dimostrato che le procedure di base del DSMC portavano a risultati che erano equivalenti a una soluzione numerica dell’equazione di Boltzmann. Tuttavia, avevo sempre pensato all’equazione di Boltzmann come a un modello matematico derivato attraverso argomenti fisici e quindi avevo sempre pensato che un metodo di simulazione fisica che si basasse sugli stessi argomenti avrebbe dovuto avere lo stesso status di una soluzione numerica di quel modello matematico. Inoltre, il numero di molecole in un percorso libero medio cubico è inversamente proporzionale al quadrato della densità numerica in modo che, per i gas a densità normale o superiore in un flusso di piccole dimensioni fisiche, i calcoli del DSMC possono essere fatti con una corrispondenza uno a uno di molecole reali e simulate. Le fluttuazioni sono quindi realistiche e il DSMC fornisce un modello superiore perché l’equazione di Boltzmann non tiene conto delle fluttuazioni.

Un gas rarefatto è costituito da un gran numero di particelle, diciamo $$N_0 = 10 ^ {23}$$. Poi si può cercare di simulare il gas tramite un sistema meccanico di particelle $$n_1$$, con $$n_1 << N_0$$ (la cosiddetta Molecular Dynamics, MD). E’ possibile confrontare la MD con il DSMC?

La funzione di distribuzione della velocità è la variabile dipendente nell’equazione di Boltzmann e una soluzione numerica richiede una discretizzazione dello spazio delle fasi che ha dimensioni pari al numero di variabili indipendenti. Sono necessarie funzioni di distribuzione separate per le energie interne, ed è il gran numero di variabili che crea i problemi connessi con l’equazione di Boltzmann. Il DSMC richiede una discretizzazione solo nello spazio fisico e le proprietà delle molecole simulate forniscono una rappresentazione delle funzioni di distribuzione. Mentre il numero di molecole simulate è generalmente molto piccolo in confronto al numero di molecole reali, è sufficientemente grande per fornire un’adeguata rappresentazione delle funzioni di distribuzione.
Il DSMC impiega un metodo probabilistico per il calcolo delle collisioni intermolecolare, mentre le collisioni in DM sono deterministiche. Il DSMC è molto più efficiente della MD (quando si possono utilizzare entrambi i metodi), ma la MD può essere applicata anche a liquidi e solidi. La MD può essere applicata solo a gas rarefatti se il gran numero di molecole reali viene sostituito da un piccolo numero di molecole estremamente grandi. Il DSMC può sfruttare simmetrie di flusso durante l’utilizzo di modelli molecolari realistici, mentre la MD usa molecole cilindriche per i flussi bidimensionali e ‘fogli’ di molecole per i flussi unidimensionali.

Intervista raccolta da Mario Pulvirenti, professore ordinario di fisica matematica presso “La Sapienza” Università di Roma. Traduzione di Stefano Pisani.

 

 [in foto: Graeme Bird]