Accettereste due problemi in cambio di uno? Normalmente no, a meno che i due problemi non siano più semplici da affrontare. Così per capire le proprietà ed i comportamenti di un ente matematico complicato non si disdegna l’idea di dissezionarlo in tante sotto-unità che siano, da qualche punto di vista, elementari. Apparentemente ci si complica la vita, moltiplicando il numero di oggetti con cui si lavora; dietro, si cela la speranza di trovarsi sul tavolo strumenti di lavoro con caratteristiche più semplici.

Per analizzare una sinfonia può essere naturale cercare di distinguere il contributo di ogni singolo strumento separatamente: gli archi, gli ottoni e così via. Ulteriormente, può essere utile guardare il contributo di ognuno degli archi separatamente: la viola, il violino, il violoncello… Proseguendo, anche il suono di un singolo strumento può essere decomposto: un accordo di pianoforte è la combinazione del suono prodotto da ogni singolo tasto, e quindi è la somma dei contributi dati da ciascuna nota. Tradotto in linguaggio matematico, la rappresentazione di un suono complesso come sovrapposizione di suoni elementari è quella che viene detta essere una decomposizione in serie di Fourier. Senza entrare nei dettagli tecnici, basti sapere che in questo tipo di approccio, si considerano le funzioni trigonometriche come gli strumenti elementari dell’orchestra che diretti in maniera coerente, sono i grado di generare suoni di ogni genere e forma. La familiarità con seno e coseno permette di gestire fenomeni complessi quanto una sinfonia.

La ragionevole strategia della decomposizione è particolarmente potente: oltre al mondo dei suoni, si può decomporre il mondo della luce, come nel caso dell’arcobaleno, in cui la luce viene divisa nelle componenti che la determinano, si può decomporre il mondo atomico, con l’obiettivo di comprendere quali siano gli ingredienti chimici presenti in una mistura. E via dicendo. La maggiore complicazione sta nel riuscire ad individuare, per ciascun problema, quali siano gli oggetti elementari che meglio si confanno alla situazione considerata. Obiettivo che si riesce a raggiungere grazie all’esperienza, all’intuizione, alla pazienza e talvolta alla fantasia del matematico.

Non sempre però, due fustini hanno lo stesso valore di uno. La linea di confine è demarcata dalla distinzione tra i problemi lineari e quelli nonlineari. Nel primo caso, il tutto è somma delle sue parti e il comportamento globale dell’orchestra può essere ricostruito a partire dal contributo di ogni singolo orchestrante. Nel secondo, invece, l’interazione dei singoli genera qualcosa di nuovo che la decomposizione non è in grado di individuare. Dopotutto, non è sempre la somma che fa il totale…

Corrado Mascia