Ho aperto il baule dove conservo i pezzi per costruire il mio albero di Natale stilizzato: otto sfere gialle che chiamo, confidenzialmente, vertici, e le bacchette verdi di connessione, che chiamo lati. Delle istruzioni nemmeno l’ombra.

Dopo essermi rapidamente mandato al diavolo per il gesto dissennato di aver eliminato chissà quando la guida di montaggio, accendo il cervello e mi domando: quante maniere ho di combinare tutto questo armamentario?

Guardo meglio: sei vertici hanno esattamente una sede per l’aggancio dei lati e gli ultimi due ne possiedono ben quattro. Dato che mi ricordo bene che il risultato finale sarà un’oggetto unico, cioè non diviso in più parti, congiungo ciascuno dei vertici del primo tipo ad un lato. Con l’ultima bacchetta restante connetto i due vertici del secondo tipo. Prendo fiato ed osservo. Basta un attimo per notare che non ci sono alternative possibili per completare il montaggio: In un attimo, il mio albero è pronto.

Ipnotizzato dalla visione natalizia o forse semplicemente esaltato dalla soddisfazione del successo, comincio a lavorare di fantasia ed immaginare alberi con una stuttura più complessa. Tanti nodi: dieci, cento, mille, di più… e tanti lati: nove, novantanove, novecentonovantanove, di più meno uno. Si: “meno uno”, perché se voglio che la struttura finale possieda una ed una sola maniera per andare da un vertice ad un altro, deduco con un pizzico di logica matematica che necessariamente il numero dei lati deve essere pari al numero dei vertici meno uno.

Un albero, per i matematici, è questo: una collezione di vertici e di lati collegati tra loro in una struttura (che viene dettagrafo) che sia connessa e che non possieda cicli al suo interno, ossia doppie maniere di andare da un punto ad un altro. Si tratta di una versione schematica di rete, in cui si individuano i nodi ed i loro contatti. Con la connessione, cioè con la proprietà che l’albero sia composto da un unica entità, ci si garantisce che, direttamente o indirettamente, tutti i vertici siano in grado di comunicare con tutti gli altri. La mancanza di cicli, invece, è una garanzia di assenza di ridondanze: se un messaggio che arriva in un nodo viene spedito automaticamente in uscita lungo gli altri lati, si è sicuri che non ci sia un fenomeno di feedback che fa rientrare una volta (e quindi infinite!) il segnale inviato.

Pensando ad esempi concreti di alberi matematici, si può anche correttamente pensare a strutture chimiche, in cui ogni nodo è un atomo, o una molecola, e ogni lato un legame. In effetti, è proprio da qui che è originato questo tipo di terminologia. Un paio di secoli fa, Arthur Cayley cercò di capire quanti tipi diversi potessero esistere dei composti organici detti alcheni, che sono caratterizzati dall’essere costituiti solamente da carbonio e idrogeno. Un alchene ha proprio una struttura ad albero in cui ogni atomo di carbonio possiede quattro legami ed ogni atomo di idrogeno uno. Insomma, esattamente una configurazione del tipo di quella del mio albero di Natale. Con un po’ di armamentario matematico di base, ci si accorge che se c’è un solo atomo di carbonio, allora ci sono necessariamente esattamente quattro atomi di idrogeno; se ci sono due atomi di carbonio, allora quelli di idrogeno sono sei, e, in generale, la presenza di m atomi di carbonio indica che ci sono esattamente 2m+2 atomi di idrogeno. Per le configurazioni possibili, la situazione è più difficile e occorre lavorare di fino per scoprire che c’è un’unica configurazione possibile nel caso in cui gli atomi di carbonio siano non più di tre, e che in tutti gli altri casi, le scelte possibili sono molteplici. Ad esempio, il giorno in cui dovessi lanciarmi nell’acquisto di un albero di Natale con dieci nodi con quattro sedi ciascuno (e quindi la bellezza di ventidue nodi con aggancio singolo) farò bene a ricordarmi di conservare gelosamente il manuale di montaggio che mi indichi quale sia la configurazione giusta tra le 75 possibili…

Corrado Mascia