L’8 febbraio 2019 il sito EurekAlert!, citando una ricerca appena pubblicata su PNAS  ^{[1 ]}Lang M., Shkolnikov M., Harmonic dynamics of the abelian sandpile, PNAS 2019  da Moritz Lang e Mikhail Shkolnikov dell’Institute of Science and Technology of Austria, annuncia: il famoso ’sandpile model’ mostra di muoversi come una duna viaggiante! Di cosa si tratta? Ce lo racconta Stefano Finzi Vita, della Sapienza Università di Roma. 

Cosa c’è di tanto sorprendente nell’articolo di Moritz Lang e Mikhail Shkolnikov? Di modelli matematici (per lo più differenziali) per la simulazione della dinamica della materia granulare, e quindi della sabbia, è ricca la letteratura scientifica (in genere in ambito fisico, ma alcuni contributi importanti si devono anche alla comunità matematica; per una introduzione divulgativa si veda ad esempio ^{[2 ]}Cannarsa P., Finzi Vita S., Pile di sabbia, dune, valanghe: modelli matematici per la dinamica granulare, Lettera Matematica PRISTEM, 70-71 (2009)). Che un modello costruito per pile di sabbia sottoposto a movimento produca un evoluzione tipica di una duna sembra quindi un risultato del tutto naturale.

Il fatto è che qui si sta parlando di un modello molto particolare, dell’Abelian Sandpile Model introdotto più di 30 anni fa in un celebre articolo di Bak, Tang e Wiesenfeld ^{[3 ]}Bak P., Tang C., Wiesenfeld K., Self-organized criticality: an explanation of the 1/f noise, Phys. Rev. Lett. 59 (1987), e formalizzato poco dopo da Dhar ^{[4 ]}Dhar D., Self-organized critical state of sandpile automaton models, Phys. Rev. Lett. 64 (1990). Un semplice automa cellulare, cioè un modello matematico discreto in grado di simulare la dinamica di sistemi complessi che esibiscono comportamenti collettivi della cosiddetta Self-Organized Criticality (SOC), cioè la tendenza ad organizzare se stessi fino al raggiungimento di configurazioni critiche metastabili, senza notevoli influenze dall’esterno. Da questi stati critici possono facilmente generarsi valanghe di ogni dimensione, caratterizzate da una distribuzione di probabilità a invarianza di scala: la loro frequenza è cioè inversamente proporzionale alla taglia. È un fenomeno che si ritrova in numerose applicazioni in campo fisico, biologico o delle scienze sociali (ad esempio nella attivazione coordinata delle cellule cerebrali, nella diffusione degli incendi boschivi, nella distribuzione della taglia dei terremoti o delle fiamme solari, nel comportamento organizzato di una colonia di formiche).

Si pensi essenzialmente a una griglia quadrata di \(N\times N\) celle, come una scacchiera o un foglio a quadretti, sulla quale vengono versati, in maniera casuale, granelli di sabbia (particelle) in grado di impilarsi uno sull’altro. Si tratta di un modello ad altezza critica, nel senso che ogni colonna che contenga fino a tre granelli rimane stabile, ma appena se ne aggiunge un quarto diviene instabile riversando istantaneamente i quattro granelli su ognuna delle colonne adiacenti (a nord, sud, est e ovest, è il cosiddetto toppling). Questo processo può chiaramente innescare una reazione a catena se in una o più delle colonne vicine si raggiunge a sua volta la soglia critica, generando appunto una sorta di valanga che termina solo quando la configurazione ritorna ovunque stabile (eventualmente scaricando alcuni granelli fuori dal supporto attraverso il bordo).

Il riferimento alle pile di sabbia è però dovuto solo alla presenza del fenomeno delle valanghe, tipico della materia granulare. È facile infatti riconoscere che questo modello produce profili profondamente diversi da quelli tipici di una pila di sabbia reale, dove quello che rende instabile la materia non è l’altezza ma la pendenza critica, cioè il dislivello tra due colonne adiacenti. Esistono altri modelli di automa cellulare in grado di cogliere più fedelmente questo aspetto (si veda ad esempio quello di Puhl ^{[5 ]}Puhl H., On the modelling of real sand piles, Physica A 182 (1992)).

Ma questo modello ha altre caratteristiche molto interessanti, e dopo più di trent’anni costituisce ancora un attivo campo di ricerca. Nell’insieme delle pile stabili (quelle con meno di 4 granelli per colonna) è possibile definire un’operazione di somma (\(\oplus\)): è sufficiente procedere come si farebbe per una normale somma di matrici (componente per componente) operando successivamente i toppling necessari a ritornare a una configurazione stabile (la pila risultante). Ad esempio: \[\left[
\begin{array}{ccc}
2 & 2 & 0 \\
2 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 3
\end{array}
\right] \oplus
\left[
\begin{array}{ccc}
2 & 1 & 3 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{array}
\right]=
\left[
\begin{array}{ccc}
{\bf 4} & 3 & 3 \\
3 & 1 & 2 \\
0 & 2 & 3
\end{array}
\right]=
\left[
\begin{array}{ccc}
0 & {\bf 4} & 3 \\
{\bf 4} & 1 & 2 \\
0 & 2 & 3
\end{array}
\right]=
\left[
\begin{array}{ccc}
2 & 0 & {\bf 4} \\
0 & 3 & 2 \\
1 & 2 & 3
\end{array}
\right]=
\left[
\begin{array}{ccc}
2 & 1 & 0 \\
0 & 3 & 3 \\
1 & 2 & 3
\end{array}
\right]\]

Se si pensa all’elemento neutro di tale operazione la prima risposta che viene in mente è che sia la pila \(O\) totalmente vuota (zero granelli in ogni colonna). Non è però una scelta soddisfacente, perché non sarebbe possibile definire la pila inversa di una pila \(A\), cioè la \(B\) tale che \(A\oplus B=O\), visto che non ammettiamo colonne con un numero negativo di granelli. Se però restringiamo l’insieme delle pile ’ammissibili’ all’insieme \(R\) di quelle cosiddette ricorrenti, ossia quelle generabili dalla massima pila stabile (tre granelli per colonna) aggiungendo qualche granello ed eseguendo i toppling necessari, è possibile dimostrare che ci troviamo di fronte ad un vero e proprio gruppo (abeliano, visto che l’ordine con cui vengono aggiunti i granelli non influisce sulla configurazione finale stabile). In particolare per ogni dimensione \(N\) della griglia esiste un’unica pila identità \(I\) (la cosiddetta sandpile identity) tale che \(A\oplus I=A\), ed un’unica pila inversa \(B\) (con \(A\oplus B=I\)) per ogni \(A\in R\). Il problema è che non esiste una formula esplicita in grado di caratterizzare \(I\) in funzione di \(N\), ma solo algoritmi (non più così banali) per generarla ad \(N\) assegnata. Di seguito gli esempi di \(I\) rispettivamente per \(N=2, 3, 4\): \[I_2=\left[
\begin{array}{cc}
2 & 2 \\
2 & 2
\end{array}
\right], \quad
I_3=\left[
\begin{array}{ccc}
2 & 1 & 2 \\
1 & 0 & 1 \\
2 & 1 & 2
\end{array}
\right], \quad
I_4=\left[
\begin{array}{cccc}
2 & 3 & 3 & 2 \\
3 & 2 & 2 & 3 \\
3 & 2 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 3 & 2
\end{array}
\right]\ .\]

Per \(N\) grande si può rappresentare l’identità assegnando colori diversi alle colonne in base alla loro altezza: in Figura 1.a) (tratta dall’articolo di Lang e Shkolnikov) compare quella relativa a \(N=255\) (bianco, verde, blu e nero corrispondono rispettivamente a colonne con 0, 1, 2 o 3 particelle).

Ed ecco che ci imbattiamo in incredibili strutture frattali costituite da regioni coperte da pattern periodici e autosimilari. Sul processo appena descritto, dai conti espliciti nel caso 3×3 fino alle figure frattali per N grande, si trova in rete un’interessante videolezione: Garcia-Puente L.D. Sandpile – Numberphile.

Ma splendide strutture autosimilari si ottengono anche in altri casi: in Figura 1.b) ecco ad esempio quello che succede versando grandi quantità di granelli sulla colonna centrale di una griglia preriempita uniformemente con colonne di altezza 2 e lasciando rilassare il tutto fino a stabilità (vedi ^{[6 ]}Dhar D., Sadhu T., Chandra S., Patterns formation in growing sandpiles, Euro. Phys. Lett. 85 (2009), la scala cromatica è ora blu, verde, rosso, bianco).

Riassumendo, il modello abeliano delle sandpiles non riproduce profili riconducibili a pile di sabbia reali, ma una struttura di gruppo commutativo la cui identità, almeno per \(N\) grande, ricorda un frattale, e sotto l’azione di campi armonici esterni, cioè aggiungendo opportunamente granelli lungo il suo bordo, mostra una dinamica periodica che simula l’emergenza, il movimento, la collisione e la scomparsa di dune come quelle del deserto (sul sito personale di Lang ^{[7 ]}Lang M., Abelian sandpiles and their harmonic dynamics, (https://langmo.github.io/interpile/), sito web con link a diversi materiali video e software si trovano diversi video di queste evoluzioni, ed è anche possibile scaricare il software InterPile, un’implementazione open source dell’algoritmo in grado di generare le figure dell’articolo). E allora il cerchio si chiude, mentre restano aperte ancora molte domande. La giustificazione matematica della comparsa di simili strutture è infatti ancora mancante, ma nell’articolo [1] di Lang e Shkolnikov si fa un passo avanti interessante: studiando come queste sandpiles frattali, opportunamente attivate, evolvano in modo periodico, con diversi pattern che si trasformano con continuità uno nell’altro, si costruisce una sorta di sistema di coordinate universali per le sandpile. Conoscere tutte le possibili configurazioni e la loro dinamica può quindi aiutare a chiarire la natura essenziale di questo modello e di conseguenza dei fenomeni reali che hanno comportamenti simili.

Stefano Finzi Vita