C’è un certo fermento nel mondo della teoria dei numeri. Come scrive Terence Tao su Mastodon “C’è stato un notevole progresso verso l’ipotesi di Riemann (anche se siamo ancora abbastanza distanti da una sua piena risoluzione) compiuto da Guth e Maynard, che hanno ottenuto un primo miglioramento sostanziale su una stima classica di Ingham degli anni ’40 sugli zeri della funzione di Riemann”. Per saperne di più chiediamo come al solito ad Alessandro Zaccagnini. 

Negli ultimi dieci anni James Maynard ha dato piú volte prova di essere un matematico di prim’ordine e non a caso gli è stata conferita la Medaglia Fields, nel luglio del 2022. Per una discussione dei suoi risultati precedenti si consulti la bibliografia in coda all’articolo ^{[1 ]}A. Zaccagnini. “James Maynard Riceve La Medaglia Fields.” Sito Web MaddMaths! https://maddmaths.simai.eu/persone/james-maynard-zaccagnini/. (2022) che ho scritto proprio in occasione della cerimonia di consegna delle Medaglie.

Questa volta parliamo dell’articolo in collaborazione con Larry Guth uscito una decina di giorni fa^{[2 ]}L. Guth, J. Maynard. “New Large Value Estimates for Dirichlet Polynomials.” https://arxiv.org/abs/2405.20552. (2024). Il titolo “Nuove stime per i valori grandi dei polinomi di Dirichlet” nasconde uno dei risultati piú interessanti degli ultimi anni. Purtroppo si tratta di un argomento molto tecnico e quindi è quasi impossibile rendere giustizia in poche parole ai contenuti.

Ho parlato diffusamente della funzione zeta di Riemann, entrando anche in qualche dettaglio piú profondo, nell’articolo ^{[3 ]}A. Zaccagnini. “Breve Storia Dei Numeri Primi.” Ithaca: Viaggio Nella Scienza III: 67–83. http://siba-ese.unisalento.it/index.php/ithaca/article/view/13813 (2014)e nel recentissimo libro ^{[4 ]}A. Zaccagnini. Il Teorema Dei Numeri Primi. Rivoluzioni Matematiche. I Grandi Teoremi Da Pitagora a Nash. Le Scienze, giugno 2024.. Ricordo che la funzione zeta è definita dalla serie \[\zeta(s)
=
\sum_{n \ge 1} \frac1{n^s},\] dove \(s\) è un numero complesso di parte reale maggiore di 1. Nelle pubblicazioni che ho citato sopra ho descritto l’importanza della funzione zeta e come le sue proprietà si riflettano in modo stupefacente sui numeri primi, mentre in ^{[5 ]}A. Zaccagnini, “La Matematica è Piena Di Eulero! Infinità Dei Numeri Primi.” Sito Web MaddMaths! https://maddmaths.simai.eu/divulgazione/eulero/eulero-1/, (2024. ho illustrato il modo in cui Eulero ha dimostrato che esistono infiniti numeri primi utilizzando alcune di queste proprietà. Qui voglio solo ricordare che Dirichlet ha provato a generalizzare la dimostrazione di Eulero al caso dei numeri primi nelle progressioni aritmetiche; per riuscire nel suo scopo ha introdotto una classe di funzioni che oggi chiamiamo serie di Dirichlet: \[L(s)
=
\sum_{n \ge 1} \frac{a_n}{n^s},\] dove \((a_n)_{n \ge 1}\) è un’opportuna successione di numeri complessi che non cresce “troppo” velocemente, e la parte reale di \(s\) è abbastanza grande da rendere la serie convergente. La funzione zeta di Riemann è la serie di Dirichlet che ha tutti i coefficienti \(a_n\) uguali ad 1. È difficile esagerare l’importanza di queste funzioni nella Teoria dei Numeri moderna per le loro innumerevoli applicazioni.

Un polinomio di Dirichlet è un’espressione del tipo \[\sum_{n = 1}^N \frac{a_n}{n^s},\] dove \(N\) è un intero positivo e i coefficienti \(a_n\) sono numeri complessi; in pratica, si tratta di somme parziali di serie di Dirichlet, per le quali, ovviamente, non abbiamo problemi di convergenza. Per motivi storici, è piú consueto scrivere questi polinomi nella forma \[p(t)
=
\sum_{n = 1}^N b_n n^{- i t},\] dove i coefficienti \(b_n\) sono numeri complessi e \(t\) è un numero reale. Gli \(a_n\) e i \(b_n\) sono legati dalla relazione \(b_n = a_n n^{-\Re(s)}\).

Siamo quasi pronti per spiegare il risultato di Guth & Maynard; fin dalla fine degli anni ’60 del XX secolo, grazie al lavoro di G. Halász, H.L. Montgomery, e M.N. Huxley, è noto che c’è una correlazione tra valori “grandi” dei polinomi di Dirichlet ed una schiera di risultati che riguardano i numeri primi, in modo praticamente automatico; parlerò di uno di questi problemi in fondo a questo articolo; un automatismo simile ma piú semplice è quello tra posizione degli zeri della funzione zeta e formule per il conteggio dei numeri primi, descritto nel mio libro ^{[6 ]}A. Zaccagnini. Il Teorema Dei Numeri Primi. Rivoluzioni Matematiche. I Grandi Teoremi Da Pitagora a Nash. Le Scienze, giugno 2024., alle pagine 108–113.

In particolare, un’informazione utile è sapere che un polinomio di Dirichlet non può assumere molti valori “grandi”; mi affretto a precisare il significato di questa richiesta: ovviamente i polinomi di Dirichlet sono funzioni continue, e quindi se \(\vert p(t_1) \vert\) è “grande” allora anche \(\vert p(t_2) \vert\) lo è per \(t_2\) “vicino” a \(t_1\). La vera domanda dunque è questa: dati \(R\) valori \(0 \le t_1 < t_2 < \dots < t_R \le T\) tali che \(\vert t_n – t_m \vert \ge 1\) quando \(n \ne m\), è possibile che \[\vert p(t_1) \vert, \qquad
\vert p(t_2) \vert, \qquad
\vert p(t_3) \vert, \qquad\dots,\qquad
\vert p(t_R) \vert\] siano tutti simultaneamente grandi? In questo modo valutiamo il polinomio \(p\) in valori \(t_n\) distanti fra loro e l’obiezione precedente non è piú valida.

I parametri in gioco in questo problema sono cinque; tre li abbiamo già visti e sono la lunghezza \(N\) del polinomio \(p\), il numero \(R\) di punti in cui il polinomio è valutato e la lunghezza \(T\) dell’intervallo in cui sono scelti i valori \(t_n\). Il quarto parametro \(M\) è il massimo valore assoluto dei coefficienti complessi \(b_n\). L’ultimo parametro è il valore \(V\) per il quale abbiamo \(\vert p(t_n) \vert \ge V\) per tutti gli \(n = 1\), …, \(R\), cioè la limitazione inferiore per i valori \(\vert p(t_n) \vert\). Questo rende l’enunciato molto tecnico e difficile da spiegare: quella che hanno scoperto Guth & Maynard è una nuova stima dall’alto per \(R\) in funzione degli altri quattro parametri \(N\), \(T\), \(M\), \(V\). In effetti, il loro miglioramento riguarda solo una certa particolare configurazione dei parametri \(N\), \(R\), \(T\), \(M\), \(V\), ma questa è sufficiente per molte applicazioni.

Come dicevo prima, c’è un automatismo fra questo tipo di risultati e la distribuzione dei numeri primi; piú formalmente, ci sono delle implicazioni ben precise. Per quello che ci interessa qui, per sommi capi l’idea è questa: approssimiamo la funzione zeta con un opportuno polinomio di Dirichlet. Le disuguaglianze dimostrate successivamente da Halász, Montgomery, Huxley e appena migliorate da Guth & Maynard implicano che questo polinomio non può assumere “troppi” valori grandi su certe rette verticali del piano complesso. Per un automatismo, questo si riflette sulla distribuzione degli zeri della funzione zeta e a sua volta a cascata sui numeri primi.

Per concretezza, mi limiterò a parlare di una conseguenza su un problema che riguarda il numero di numeri primi in intervalli relativamente “corti.” Il Teorema dei Numeri Primi dice che \[\pi(N)
=
\vert \{ p \le N \colon \text{ $p$ è primo } \}
\sim
\frac N{\log(N)}.\] Questa formula suggerisce che se contiamo il numero dei numeri primi in un intervallo del tipo \([N + 1, N + M]\) dove \(M \le N\), se \(M\) non è troppo piccolo allora questo numero vale circa \[\frac{N + M}{\log(N + M)}
–
\frac N{\log(N)}
\sim
\frac M{\log(N)},\] sfruttando il fatto che la funzione logaritmo cresce molto lentamente e quindi i denominatori a sinistra sono pressoché uguali. L’obiettivo è dimostrare che questa “previsione” è corretta quando \(M\) è sostanzialmente piú piccolo di \(N\). Per dare un’idea, se fosse vera la Congettura di Riemann (vedi le pagine 120–125 del libro citato) allora potremmo dedurre la validità di questa formula quando \(M\) è appena piú grande di \(N^{1 / 2}\).

L’ultimo dei risultati citati sopra, quello di Huxley, è del 1972 e implica che si può prendere \(M \ge N^{7 / 12}\). Una delle conseguenze dei nuovissimi risultati di Guth & Maynard è che si può prendere \(M \ge N^{17 / 30}\); l’esponente passa da \(0.58\overline{3}\) a \(0.5\overline{6}\). Un piccolo miglioramento? Cosí può sembrare, ma voglio ricordare un precedente che riguarda alcuni dei personaggi di questa storia. Uno dei primi risultati che hanno reso Maynard famoso^{[7 ]}A. Zaccagnini. “Il Cerchio Si Stringe Intorno Ai Primi ‘Gemelli’.” Sito Web MaddMaths! https://maddmaths.simai.eu/divulgazione/il-cerchio-si-stringe-intorno-ai-primi-gemelli/ (2013). riguarda il problema dei primi “vicini” che non vedeva miglioramenti dagli anni ’70, anche in quel caso dovuti proprio ad Huxley! Ebbene, dopo un lungo periodo di stasi, nel giro di pochissimo tempo questo problema è arrivato molto vicino alla soluzione grazie al lavoro di tante persone. Succederà lo stesso anche in questo caso? Sarà il tempo a dirlo; noi teniamo le dita incrociate.

Immagine di copertina: Ssindhwani, CC BY-SA 4.0, via Wikimedia Commons