La quarta puntata della rubrica “Uno sguardo oltre la superficie“, a cura di Giuseppe Tinaglia. Uno spazio dove si osserva la geometria che ci circonda, ma anche oltre.

Siamo tutti più o meno a conoscenza della teoria della selezione naturale (spero, ma chi ne fosse a digiuno è invitato a leggersi i post di questa rubrica di MaddMaths!). Tuttavia è divertente (e importante) riflettere sul fatto che la selezione naturale e la lotta per la sopravvivenza non sono gli unici elementi che determinano la forma di un animale. A modellare la natura contribuiscono anche le leggi della chimica, fisica e, udite udite, matematica.  Chi l’avrebbe mai detto? Mi spiego meglio. È forse vero che, se non ci fossero predatori, in teoria un animale si potrebbe evolvere come gli pare e piace? Come dite? Ma senza predatori che bisogno ha un animale di evolversi? Obiezione giustissima. Allora si potrebbe cambiare la domanda. È possibile costruire geneticamente qualsiasi animale si voglia?

La risposta è certamente no e per diversi motivi. In questo articolo voglio esplorare i motivi geometrici (strano!) del perché no e soffermarmi su vari aspetti di un animale, tra i quali la capacità di volare. Prima di cominciare però, fatemi omaggiare D’Arcy Thompson ^{[1 ]}ringrazio Giuseppe Bellomo per avermi fatto “conoscere” D’Arcy Thompson. che, col suo libro On Growth and Form (tradotto Crescita e Forma), nel 1917 si dimostrò paladino di questo modo di pensare. Come da buona tradizione matematica, la prendiamo alla lontana e cominciamo prima col parlare di una forma a tutti noi familiare: il cubo. Il volume di un cubo di lato \(R\) è, ma non mi dire, \(R\) al cubo. Mentre l’area di una sua faccia, ovvero di un quadrato di lato \(R\) è, ma non mi dire, \(R\) al quadrato. Quindi, l’area della superficie di un cubo di lato R è \(6R^2\), il volume è \(R^3\) e Il rapporto tra volume e area è\(\frac{R}{6}\). In particolare, questo rapporto cresce col crescere di \(R\). Questo ci dice che ingrandendo un cubo, il suo volume cresce molto più velocemente che l’area della sua superficie. Prendiamo un altro esempio, la palla. Il volume di una palla di raggio \(R\) è \(\frac{4}{3}\pi R^3\) mentre l’area della superficie della stessa palla è   \(4\pi R^2\) . Quindi il rapporto tra volume e area è \(\frac{R}{3}\)  Di nuovo, questo ci dice che, ingrandendo la palla, il suo volume cresce molto più velocemente che l’area della sua superficie.

Ma non è obbligatorio fermarsi al cubo e alla palla. Se prendiamo un oggetto cha abbia un certo volume, chiamiamolo \(V\), e una certa area di superficie, chiamiamola \(A\), e immaginiamo di ingrandirlo, come ad usare lo zoom in una macchina fotografica, allora il suo volume cresce molto più velocemente che l’area della sua superficie. Più precisamente, se ingrandiamo questo oggetto \(n\) volte, allora il rapporto tra il nuovo volume e la nuova area è \(\frac{nV}{A}\) e siccome \(V\) e \(A\) sono fissi, queste rapporto cresce col crescere di \(n\).

Vi dico che questa discussione sul volume e l’area ci aiuta a capire, per esempio, perché un ippopotamo non può volare. No, non è solo perché non ha le ali! Anche uno struzzo non riesce a volare. Per capire la natura del problema, prendete il vostro animale preferito capace di volare; che sia  insetto, uccello o mammifero, non importa. Prendiamo ad esempio la rondine. La domanda è questa: supponiamo sia possibile ingrandire una rondine a piacimento, allora questa gigantesca rondine riuscirebbe comunque a volare? Come vedete la domanda è un po’ più raffinata e, anche se la risposta come vedremo è no, questo non vuol dire che una cosa grande non possa volare. D’altra parte, gli aerei esistono. Ma su questo torneremo dopo. Allora, può esistere in natura una rondine gigante? La risposta è no e la spiegazione matematica risiede nella nostra discussione su area e volume e nel fatto che

1. Il volume della rondine ne determina il peso;
2. la superficie delle sue ali determina il peso che riesce a sollevare.

Il fatto che il volume della rondine ne determini il peso è abbastanza evidente. Cioè nell’ingrandire la rondine, il suo peso cresce tanto velocemente quanto il volume. Se il volume raddoppia, il peso raddoppia e così via. La seconda affermazione invece dice che il peso che le ali riescono a sollevare, cresce come l’area della superficie delle ali e su questo… ci fidiamo. In altre parole, se il peso raddoppia, allora per essere in grado di volare è necessario che l’area della superficie delle ali raddoppi. Questi ingredienti bastano per capire perché una gigantesca rondine non sarebbe in grado di volare. All’ingrandire la rondine, il suo peso cresce di pari passo con la crescita del suo volume, mentre il peso che le ali riescono a sollevare cresce di pari passo con la crescita dell’area della loro superfice. Tuttavia, dalla discussione precedente su area e volume, si deduce che, al crescere della rondine,  il suo volume,  e quindi il suo peso, aumenta molto più velocemente della sua superficie, e quindi del peso che le ali sono in grado di sollevare. Insomma, siccome il volume “vince” sull’area, la rondine rimane a terra! Chiaro? Questa discussione non vuol dire che oggetti grandi non possano volare. Però ci permette di studiare i limiti del volo, chiamiamolo alato.

È tutto? No! Il fatto che con l’ingrandire di un oggetto il volume “vinca” sull’area era già stato usato perfino da Galileo^{[2 ]}Galileo Galilei, Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze attinenti la meccanica e i movimenti locali (solo prime 4 giornate + appendice) stampato in italiano e latino a Leida (Paesi Bassi) dagli Elzeviri (1638). per illustrare come un animale non possa essere troppo grande (o anche, tornando alla discussione precedente, un aereo). Il ragionamento è molto simile e si basa su questo principio: il peso che un arto (la gamba) riesce a reggere non cresce come il suo volume, ma cresce come l’area della sezione orizzontale di questo arto. D’altra parte è evidente a tutti che la forza necessaria per spezzare una corda non dipende da quanto è lunga, ma da quanto è grossa. Quindi, quanto è possibile ingrandire un topolino? Non a piacere. Come nell’esempio della rondine, all’ingrandirsi, il suo peso cresce di pari passo con la crescita del suo volume. Tuttavia il peso che le sue gambe riescono a reggere cresce solo di pari passo all’area della loro sezione orizzontale. Quindi se lo ingrandiamo troppo… crack! È per questo che le gambe di un elefante sono, in proporzione al suo peso, molto più spesse delle gambe di un topolino.

Ma facciamolo dire a Galileo ^{[3 ]}Galileo Galilei (1638) wikisource

“…e che la natura non potrebbe fare un cavallo grande per venti cavalli, né un gigante dieci volte più alto di un uomo, se non o miracolosamente o con l’alterar assai le proporzioni delle membra ed in particolare dell’ossa, ingrossandole molto sopra la simmetria dell’ossa comuni…”

Da questa discussione scaturiscono cose molto importanti, alcune delle quali Galileo, uomo di altri tempi, non avrebbe potuto dedurre:

1. Se supponiamo che King Kong, Gozzila o Megaloman, siano fatti di materiale biologico, allora non possono esistere: sono troppo grandi! Però Mazinga Zeta, che è fatto di un materiale diverso (metallo?), si.  
2.  Gli animali piccoli “sembrano” più forti se si presta attenzione al loro peso. Quante volte avete sentito frasi del tipo “un ragno è capace di sollevare 10 volte il proprio peso” interpretato come “ammazza come sono forti sti ragni!” Magari è vero che i ragni sono molto forti rispetto agli uomini, ma adesso sappiamo che fare un confronto tra quanto possono sollevare un ragno e un uomo rispetto al loro peso non è corretto. Come si spiega la super forza dell’uomo ragno?
3. Tornando alle cose grandi che volano, come gli aerei: anche per ingrandire un aereo a piacere o si usa un materiale diverso o prima o poi le ali si spezzano.
4. L’animale più grande del mondo, ovvero la balena, vive nell’acqua. Non è un caso^{[4 ]}È questione di peso e di forza di gravità, quindi nell’acqua o su Marte è tutta un’altra cosa!  .

È tutto? Ancora no. Per finire (ma solo per finire questo articolo), il rapporto volume e area entra in gioco anche quando un animale deve scaldarsi ed è per questo che animali piccoli tendono a NON vivere dove fa freddo. Perché? Si può dire che la quantità di calore di un corpo cresca di pari passo alla sua massa, e quindi al suo volume. Tuttavia, il calore scambiato da un corpo e l’ambiente è proporzionale all’area della sua superficie. In questo caso essere grandi, o meglio avere un grande rapporto tra volume e area di superficie, aiuta a non raffreddarsi prima. Per questo motivo gli elefanti, che vivono in posti caldi, hanno bisogno di orecchie grandi: per aumentare l’area della propria superficie e disperdere calore più velocemente. Quindi, se avete figli, pensateci bene prima di concedergli di togliersi la giacca: essendo il loro rapporto tra volume e area più piccolo di quello di un adulto, essi si raffreddano prima! Ma non date la colpa a me, sia chiaro!

Giuseppe Tinaglia, King’s College, London
https://nms.kcl.ac.uk/giuseppe.tinaglia/