Claudio Castellano, ricercatore dell’Istituto dei Sistemi Complessi del CNR, ci racconta come funzionano i modelli su rete della diffusione delle epidemie e perché cambino il nostro modo di capire e affrontare questa emergenza. 

Come abbiamo ormai tutti imparato in questi giorni, la diffusione di una malattia infettiva in una popolazione dipende in maniera cruciale da un parametro, il “basic reproduction number” \(R_0\), definito come il numero medio di individui che, in una popolazione completamente suscettibile, vengono infettati in media da un singolo individuo infetto, prima che esso smetta di essere infettivo (guarendo, morendo o venendo isolato). Il numero di infetti nella popolazione dipende inizialmente in maniera esponenziale da \(R_0-1\). Se \(R_0<1\) il numero di infetti decresce rapidamente e l’epidemia si estingue. Altrimenti il contagio si diffonde rapidamente in strati sempre più ampi della popolazione.

Semplici modelli permettono di collegare il valore di \(R_0\) ai processi fondamentali che determinano la dinamica dell’infezione a livello dei singoli individui. In uno dei modelli più semplici, il modello SIR (Susceptible-Infected-Removed), si assume che ogni individuo possa essere suscettibile, infetto, oppure rimosso (ovvero guarito, morto o isolato) e abbia un certo numero \(\langle {k} \rangle\) di contatti, scelti a caso nella popolazione (ipotesi di mixing omogeneo). Le equazioni che descrivono, in una popolazione di \(N\) individui, l’evoluzione temporale del numero medio di individui suscettibili \(S(t)\), infetti \(I(t)\) e rimossi \(R(t)\) sono:
\[(SIR)\ \ \ \ \ \ \ \  \left \{
\begin{array}{lll}
\dot{S} & = & – \beta \langle {k} \rangle\frac{S I}{N}\\
\dot{I} & = & + \beta \langle {k} \rangle\frac{S I}{N} – \mu I\\
\dot{R} & = & + \mu I,
\end{array}
\right.\] dove \(\beta\) è la trasmissibilità, ovvero la probabilità per unità di tempo che un infetto contagi un suscettibile con cui è in contatto e \(\mu\) è la probabilità per unità di tempo che un individuo sia rimosso. Il numero totale di individui \(N=S(t)+I(t)+R(t)\) si conserva. Considerando uno stato iniziale con tutti suscettibili tranne un numero piccolo di infetti \(I(0)\) e integrando per tempi brevi si trova \[I(t) = I(0) e^{\mu(R_0-1)t},\] dove il valore di \(R_0\) è dato da \[(R_0)\ \ \ \ \ \ \ \ \  \ R_0 = \frac{\beta}{\mu} \langle {k} \rangle.
\label{R0}\]

L’espressione di \(R_0\) permette di capire gli ingredienti che rendono un’infezione pericolosa e come si può cercare di agire per ridurne gli effetti. La trasmissibilità \(\beta\) misura quanto facilmente l’infezione viene trasmessa tra due individui in contatto. Le misure suggerite durante questa emergenza, come il lavaggio delle mani o l’uso di mascherine e guanti, mirano a ridurre questo fattore. Il rate \(\mu\) ci dice quanto rapidamente gli individui infetti vengono messi in condizione di non infettare più gli altri. La ricerca di farmaci che permettano di guarire più rapidamente e l’aumento del numero di tamponi effettuati, che permettono di identificare gli infetti e “rimuoverli” il prima possibile, sono entrambi tentativi di ridurre \(R_0\) aumentando \(\mu\). Infine \(\langle {k} \rangle\) è una misura di quanto connessa è la struttura dei rapporti sociali attraverso cui l’epidemia si propaga. Le misure di distanziamento sociale mirano esattamente alla riduzione di questo fattore.

La dipendenza di \(R_0\) da \(\langle {k} \rangle\) in (\(R_0\)) riflette l’ipotesi di mixing omogeneo, ovvero che ogni individuo della popolazione abbia approssimativamente lo stesso numero \(\langle {k} \rangle\) di contatti. Circa 20 anni fa, quando ha cominciato a essere disponibile un’enorme mole di tracce digitali riguardo alle interazioni sociali (traffico telefonico, transazioni finanziarie, reti sociali online) ci si è resi conto che questa assunzione è, in molti casi, altamente irrealistica. Il numero di persone con cui si è in contatto varia moltissimo da individuo a individuo. Un clamoroso esempio di questa eterogeneità ci è fornito dall’attuale epidemia di COVID-19. Uno degli stati che ha contrastato l’infezione con più successo è sicuramente la Corea del Sud, dove tecniche sofisticate di contact tracing hanno permesso di ricostruire la rete di contatti dei primi individui contagiati dal coronavirus. Come si vede nella Figura 1, il numero di contatti ricostruiti per i vari individui ha enormi fluttuazioni: per la paziente 31 sono stati tracciati 1160 contatti, mentre per il paziente 30 poche decine e per tanti altri solo pochissime unità.

Per studiare la diffusione epidemica in molti sistemi reali dobbiamo quindi considerare reti in cui il grado \(k\), ovvero il numero di connessioni di un singolo, può variare molto tra individuo e individuo. La distribuzione del grado \(P(k)\) misura la probabilità che un individuo scelto a caso nella rete abbia grado \(k\). Si trova empiricamente^{[1 ]}M. E. J. Newman. The structure and function of complex networks. SIAM Review, 45(2):167–256, 2003.  che in moltissime reti reali la distribuzione \(P(k)\) ha una grande varianza e quindi non può essere descritta bene con il solo valor medio \(\langle {k} \rangle\): le reti sono fortemente eterogenee. In molti casi si trova che la forma funzionale di \(P(k)\) non può neanche essere approssimata con una gaussiana, seppure larga: per grandi valori di \(k\), \(P(k)\) non decade esponenzialmente, ma in maniera molto più lenta, ben descritta da un decadimento a legge di potenza \(P(k) \sim k^{-\gamma}\). L’esponente \(\gamma\) è spesso compreso tra 2 e 3: la maggior parte degli individui ha grado piccolo, ma alcuni hanno un numero di connessioni enormemente maggiore, anche di ordini di grandezza (come nel caso in Fig. 1).

Per considerare questa eterogeneità nell’ambito del modello SIR si generalizzano le il sitema (SIR), assumendo che le probabilità di essere, rispettivamente, suscettibile, infetto o rimosso dipendano dal grado \(k\) dell’individuo. In questo modo l’evoluzione dell’epidemia viene descritta da un sistema di molte equazioni accoppiate, 3 per ogni valore di \(k\) ^{[2 ]}Romualdo Pastor-Satorras, Claudio Castellano, Piet Van Mieghem, and Alessandro Vespignani. Epidemic processes in complex networks. Rev. Mod. Phys., 87:925–979, Aug 2015. \[\left \{
\begin{array}{lll}
\dot{S}_k & = & – \beta k \frac{S_k \Theta}{N} \\
\dot{I}_k & = & + \beta k \frac{S_k \Theta}{N} – \mu I_k\\
\dot{R}_k & = & + \mu I_k,
\end{array}
\right.
%\label{SIR2}\] dove \[\Theta = \sum_{k’} \frac{(k’-1)P(k’)}{\langle {k} \rangle} I_{k’}\] è la probabilità che un vicino a caso di un individuo di grado \(k\) sia infetto e possa trasmettergli l’infezione. Da queste equazioni si trova che l’espressione di \(R_0\) è ora \[R_0 = \frac{\beta}{\mu} \left (\frac{\langle {k^2} \rangle}{\langle {k} \rangle}-1 \right),\] dove \(\langle {k^n} \rangle = \sum_k k^n P(k)\) è il momento \(n\)-esimo della distribuzione \(P(k)\). Questo cambiamento ha conseguenze molto rilevanti: per le reti eterogenee \(\frac{\langle {k^2} \rangle}{\langle {k} \rangle} \gg \langle {k} \rangle\) e quindi il valore di \(R_0\) è molto più grande del valore omogeneo dato dall’equazione (\(R_0\)). Addirittura, quando l’esponente \(\gamma\) della distribuzione del grado \(P(k) \sim k^{-\gamma}\) è compreso tra 2 e 3, \(\langle {k^2} \rangle\) diverge all’aumentare della popolazione. In tal caso \(R_0\) cresce senza limite per il solo effetto della eterogeneità della rete dei contatti. Qualunque sia il valore dei parametri biologici (\(\beta\) e \(\mu\)), in una popolazione sufficientemente grande, \(R_0>1\), permettendo una propagazione su grande scala del contagio. In pratica, gli individui con molti contatti possono contagiare molte persone, e la loro presenza è sufficiente a fare diventare \(R_0>1\). Questo ha ovviamente enormi implicazioni per quanto riguarda le strategie per controllare e combattere la diffusione di un’epidemia.

L’analisi di cosa succede per modelli epidemici semplici come il SIR su reti estremamente stilizzate è la base per la comprensione sia di modelli epidemici più complessi (che prevedano tempi di incubazione, individui asintomatici, ecc.) sia di caratteristiche più realistiche delle reti di contatti, come la presenza di correlazioni, clustering, comunità (gruppi di nodi fortemente connessi tra di loro e debolmente con il resto della rete), effetti spaziali. Altri effetti non banali sono dovuti al fatto che le reti che mediano la diffusione dei contagi non sono statiche ma cambiano nel tempo, spesso in reazione alla dinamica epidemica stessa.

L’inclusione di un gran numero di elementi di maggiore realismo ha portato allo sviluppo di sofisticate piattaforme computazionali che permettono ormai di formulare previsioni in tempo reale sulla diffusione delle epidemie (Fig. 2). Esse sono basate su modelli multiscala di reazione e diffusione, in cui ogni nodo di una rete rappresenta tipicamente una città all’interno della quale gli abitanti sono assunti in condizioni di mixing omogeneo, mentre le interazioni tra nodi diversi sono date dal movimento dei singoli individui, desunto da dati reali sulle varie forme di mobilità.

Questi modelli vengono utilizzati in questi giorni per fornire ai decisori politici scenari su cui (sperabilmente) basarsi. Un recente esempio riguardante la pandemia attuale è il lavoro di Chinazzi et al.^{[4 ]}Matteo Chinazzi, Jessica T. Davis, Marco Ajelli, Corrado Gioannini, Maria Litvinova, Stefano Merler, Ana Pastore y Piontti, Kunpeng Mu, Luca Rossi, Kaiyuan Sun, Cécile Viboud, Xinyue Xiong, Hongjie Yu, M. Elizabeth Halloran, Ira M. Longini, and Alessandro Vespignani. The effect of travel restrictions on the spread of the 2019 novel coronavirus (covid-19) outbreak. Science, 368(6489):395–400, 2020., che prevedeva già all’inizio di febbraio che drastiche riduzioni della mobilità avrebbero portato solo a un modesto ritardo nella propagazione del COVID-19, mentre solo provvedimenti mirati a ridurre fortemente la probabilità di trasmissione all’interno delle singole comunità avrebbero potuto determinare una sensibile riduzione del numero complessivo di casi.

La diffusione epidemica è un fenomeno collettivo che, a partire dalla trasmissione dell’infezione tra singoli individui, può portare all’emergere di pandemie su scala globale. Come questo avvenga dipende in maniera cruciale dalle caratteristiche della rete dei contatti tra individui. Lo studio di come la struttura delle connessioni influenzi la dinamica del contagio è un ambito di ricerca attivissimo, che costituisce anche il paradigma per la comprensione di altri fenomeni di propagazione in reti sociali, come la diffusione di informazioni, opinioni o mode. Approfondimenti sul ruolo delle reti nelle dinamiche di tipo epidemico si possono trovare in ^{[5 ]}Romualdo Pastor-Satorras, Claudio Castellano, Piet Van Mieghem, and Alessandro Vespignani. Epidemic processes in complex networks. Rev. Mod. Phys., 87:925–979, Aug 2015..

Claudio Castellano