Maurizio Codogno, meglio noto in rete come .mau., racconta come lui vede la matematica, con la scusa di non doverla insegnare né crearne di nuova. La regola del tre è un metodo che si studiava a scuola per risolvere le proporzioni prima di saper usare le incognite: ma può essere utile anche molto più in là nella matematica.

Non so se a scuola si studi ancora la regola del tre: un metodo per risolvere i problemi con le proporzioni senza aver bisogno di scrivere equazioni e soprattutto aggiungere delle incognite. Ai miei tempi il tre semplice e il tre composto erano parti standard del programma delle elementari, e ho visto su Wikipedia che anche la Francia e la Spagna l’insegnavano; nei paesi anglosassoni invece il metodo è virtualmente ignoto. La regola mi è tornata in mente leggendo uno dei problemi dell’ottimo libro Ants, Bikes and Clocks di William Briggs, che ora vi propongo in traduzione.

Il direttore di una fabbrica di bagel sa che in media 3 persone producono in media 450 bagel in 2 ore. Supponete che ciascuna persona lavori indipendentemente dagli altri, che tutti abbiano la stessa velocità di produzione, e che non ci siano colli di bottiglia.

(i) Quanti bagel possono produrre 6 persone in 8 ore?

(ii) Quante ore servono a 2 persone per produrre 800 bagel?

(iii) Quante persone sono necessarie per produrre 600 bagel in 2 ore?

Se il problema vi ricorda l’indovinello “se una gallina e mezzo depone un uovo e mezzo in un giorno e mezzo, in quanto tempo sei galline deporranno sei uova?” avete ragione, nel senso che anche qui il procedimento risolutivo è lo stesso: la differenza è che nel caso delle galline la formulazione è studiata apposta per ingannarvi, mentre il problema qui proposto non contiene nessun bieco trucco ed è puramente di calcolo.

Briggs mostra innanzitutto un modo sgraziato per risolvere la prima parte del problema, usando le proporzioni (che poi è la stessa cosa della regola del tre): se 3 persone producono 450 bagel in 2 ore, 6 persone ne produrranno 900 in 2 ore e 3600 in 8 ore, notando che le altre parti si possono risolvere in modo simile. Questo metodo risolutivo è un caterpillar: lento, ma inesorabile. Si può fare di meglio? Sì. Noi abbiamo tre variabili in gioco: il numero b di bagel, il tempo t (in ore) necessario, il numero n di persone impiegate. Se p persone producono in media b bagel in t ore, possiamo calcolare il tasso di produzione di bagel T vedendo il suo comportamento raddoppiando ciascuna variabile. Il tasso di produzione funziona più o meno come la velocità: se raddoppiamo il tempo percorso alla stessa velocità raddoppieremo lo spazio percorso, e quindi spazio e tempo devono trovarsi uno al numeratore e l’altro al denominatore in una frazione. Vediamo ora il nostro caso: visto che il tasso è di produzione di bagel, b sta al numeratore. Se ora raddoppiassimo p oppure t, il numero di bagel raddoppierebbe; quindi p e t stanno al denominatore e abbiamo la formula

\(T = \frac{b}{pt}.\)

Da questa formula ricaviamo che il tasso di partenza è 450/(3∙2) = 75 “bagel per persona-ora”. A questo punto per risolvere i tre problemi basta inserire le variabili date e ottenere la risposta. Che abbiamo fatto, in pratica? Abbiamo preso la regola del tre (diretto e inverso) e l’abbiamo racchiusa in una formula. In questo modo abbiamo dovuto applicare la regola una volta per tutte, anziché ricominciare tutte le volte da capo.

Fin qua nulla di davvero interessante, a meno che non siate il proprietario di una fabbrica di bagel. Ma ci sono due corollari di questo metodo che potrebbero esservi utili, soprattutto quando fate fisica. Il primo è l’analisi dimensionale, che ci permette spesso di trovare una formula a meno di una costante numerica (beh, non si può pretendere tutto dalla vita: accontentiamoci di avere un’idea di base). Per esempio, se volessimo chiederci qual è il periodo di oscillazione t di una massa m attaccata a una molla ideale di costante elastica k in un campo gravitazionale di intensità g, possiamo partire dal definire i valori dati come proporzionali a una combinazione delle grandezze fondamentali tempo \([T]\), massa \([M]\) e lunghezza \([L]\). Evidentemente, la massa ha dimensione \([M]\); la costante elastica ha dimensione \([M][T^{-2}]\), perché essendo la dilatazione direttamente proporzionale alla forza, la lunghezza si elimina; infine la costante gravitazionale ha dimensione \([L][T^{-2}]\) essendo un’accelerazione. Come possiamo combinare queste dimensioni per avere un periodo, cioè un tempo \([T]\)? La prima cosa che notiamo è che la costante gravitazionale è l’unica che ha una lunghezza tra le sue dimensioni, e quindi non c’è nessun modo per toglierla combinando i tre valori dati; pertanto la formula cercata è indipendente da g. Una massa sulla Luna oscillerà esattamente come sulla Terra, insomma. Ci restano massa e costante elastica, e l’unico modo di metterle insieme per ottenere un tempo è scrivere \(α \sqrt{\frac{m}{k}}\), dove α è la costante numerica che dovremo trovare in un altro modo. (Per i curiosi, α=2π).

L’altra derivazione possibile è quella delle unità naturali. Un mio professore di fisica all’università prendeva la velocità della luce pari a 1, così come la carica dell’elettrone e la costante di Planck, o meglio la versione ridotta ħ. Almeno in teoria un sistema di questo tipo avrebbe dovuto semplificare i conti… sempre naturalmente che si facesse a parte un’analisi dimensionale. Io non ci ho mai capito nulla, ma del resto sono matematico e non fisico… Quello che comunque direi essere chiaro è che anche partendo da un semplice esempio come la regola del tre si possa arrivare al concetto di dimensione e sfruttarlo appieno!

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Maurizio Codogno

Maurizio Codogno, noto online come .mau., è nato a Torino nel 1963, e si è laureato in matematica presso la Scuola Normale Superiore di Pisa e successivamente in informatica a Torino. Autore di numerosi libri di divulgazione scientifica, tra cui “Matematica in pausa caffè” e “Chiamatemi Pi Greco”, ha il suo blog “Notiziole di .mau.” dall’inizio del millennio ed è stato curatore della collana di libri Matematica di Gazzetta dello Sport e Corriere della Sera.