Maurizio Codogno, meglio noto in rete come .mau., racconta come lui vede la matematica, con la scusa di non doverla insegnare né crearne di nuova. Alcuni matematici avevano già avuto dei dubbi, ma ora sono state trovate le prove: Cantor ha ideato la teoria degli infiniti, ma il suo articolo fondamentale è stato in parte un plagio.

La storia della creazione delle teoria degli infiniti da parte di Georg Cantor è ben nota, anche perché è uno di quei racconti che sembrano più un feuilleton che un testo di matematica. Il ricercatore che non solo rompe con una tradizione bimillenaria e accetta l’esistenza dell’infinito attuale e non potenziale, ma crea addirittura una gerarchia di infiniti, dopo avere scoperto che i numeri razionali sono “tanti quanti” i naturali. L’uomo che davanti a quella dimostrazione sbotta dicendo “lo vedo, ma non ci credo!”. La lotta senza quartiere che Leopold Kronecker, notoriamente già scettico sull’esistenza dei numeri reali, gli fece. Il suo scrivere al Sant’Uffizio per spiegare come la sua teoria degli infiniti non era in contraddizione con l’esistenza di un Dio assoluto, con la risposta del cardinale Franzelin che gli suggerisce di chiamare i numeri da lui scoperti “transfiniti” e non “infiniti”. (ok, adesso che abbiamo un papa laureato in matematica potremmo anche aspettarcelo. Ma più di un secolo fa?) Il suo entrare e uscire dagli ospedali psichiatrici, fino alla sua morte, dimenticato da tutti; Hilbert che dice che nessuno caccerà i matematici dal paradiso che Cantor ha creato.

Ma come ogni bella storia, a quanto pare anche questa qui non è proprio vera, almeno secondo quanto scritto su Quanta Magazine. Per spiegare questa nuova scoperta, facciamo un passo indietro. Ho scritto che Cantor ha lavorato da solo, ma in effetti sappiamo che si confidava con l’altro grande matematico tedesco Richard Dedekind, che è tra l’altro stato il primo a dare una definizione formale dei numeri reali (quelli che appunto non piacevano a Kronecker: ma la ragione è sempre quella della necessità di usare un processo infinito per definirli.) Sappiamo anche che i due matematici ebbero un lungo carteggio che si interruppe improvvisamente. Ora il giornalista (con un dottorato in matematica: questi matematici si infilano davvero ovunque!) Demian Goos ha ritrovato una lettera spedita da Dedekind a Cantor che cambia appunto le carte in tavola.

La corrispondenza tra Cantor e Dedekind nei primi anni ‘70 del XIX secolo era già ben nota. La frase “lo vedo, ma non ci credo!” che ho citato sopra è appunto stata scritta in una lettera dal primo al secondo matematico. Nel 1873 c’è stato uno scambio di lettere dove Cantor diceva di avere dimostrato che i numeri razionali potevano essere messi in corrispondenza biunivoca con i naturali, cioè aveva trovato un modo per ordinarli: come si vede nella figura qui sopra, scriveva tutte le frazioni in una tabella infinita e poi andava a zig zag, saltando quelle che erano equivalenti a una frazione già vista. (Per le frazioni negative non c’è problema: basta contare due volte ogni frazione, una volta con il segno più e una con il meno.) Però gli confidava al collega di non riuscire a fare la stessa cosa con i numeri reali. Dedekind rispose che nemmeno lui ci riusciva, ma che era riuscito a dimostrare che i numeri algebrici, cioè le soluzioni delle equazioni polinomiali in x a coefficienti interi, erano anch’essi numerabili. Dopo un po’ Cantor riesce finalmente a dimostrare che i numeri reali sono “più” degli interi: non lo fa ancora col noto metodo diagonale, ma con un’argomentazione piuttosto convoluta. Dedekind risponde con una semplificazione della dimostrazione, mantenendo la correttezza matematica, mentre contemporaneamente Cantor aveva seguito la stessa strada, ma in modo meno corretto.

A questo punto Cantor, dopo aver parlato con il suo mentore Weierstrass, decide di sottoporre un articolo al giornale di Crelle, che al tempo era la pubblicazione più importante per la matematica. Solo che nel comitato editoriale c’era Kronecker, e Cantor sapeva che ce l’aveva con Dedekind, oltre che con i numeri reali in genere. (Non si era ancora messo contro Cantor). Che fa allora Cantor? Invia l’articolo con un titolo vero ma fuorviante, “Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen”, “Su una proprietà dell’insieme di tutti i numeri algebrici reali”, lasciando la dimostrazione della non numerabilità dei numeri reali nella seconda parte. Peccato che la parte sui numeri algebrici sia quella di Dedekind, così come la formalizzazione del suo argomento sulla non numerabilità; e che il suo collega non è indicato come coautore; modificò addirittura la terminologia, per non far vedere che era quella tipica di Dedekind. Ecco il furto, scoperto grazie al ritrovamento di una lettera scritta da Dedekind a Cantor datata 30 novembre 1873 con la dimostrazione della numerabilità dei numeri algebrici.

Qual è il significato pratico di tutto questo? Che mentre continua a essere vero che è stato Cantor a mostrare che esistevano più tipi diversi di infinito, lo sviluppo della teoria dovrebbe essere più correttamente attribuito anche a Dedekind. Si può forse capire che per Cantor la dimostrazione di Dedekind non era fondamentale e serviva più che altro come specchietto per le allodole, ed è vero che la parte davvero importante dell’articolo è appunto l’altra dimostrazione; ma in ogni caso il suo comportamento è stato inqualificabile, e mi stupisco addirittura che Dedekind, dopo aver smesso di rispondere alle lettere di Cantor per tre anni, avesse poi ripreso a farlo (salvo poi chiudere definitivamente i rapporti nel 1882, ufficialmente perché Dedekind non volle trasferirsi all’università di Halle dove lavorava Cantor: ma a questo punto chissà qual è la verità.) Funziona davvero così: le storie troppo belle nascondono sempre qualcosa. Solo che proprio perché sono belle è difficile confutarle: già Emmy Noether ebbe dei dubbi, e nel 1993 il filosofo della matematica José Ferreirós in un suo articolo accusò esplicitamente Cantor. Ma solo la pistola fumante ora trovata potrà cambiare le carte in tavola… o forse nemmeno questa basterà. Come diceva Terry Pratchett, il narrativium è la forza più potente nell’universo umano.

Post scriptum: siete curiosi di sapere come Dedekind aveva messo in ordine i numeri algebrici? Naturalmente è sufficiente riuscire a mettere in ordine tutte le equazioni possibili. L’idea di base è quella di sommare i valori assoluti dei coefficienti, per avere un “peso” dell’equazione, e scrivere prima tutte le equazioni di peso 0, poi tutte quelle di peso 1, quelle di peso 2 e così via. Peccato che ci siano infinite equazioni per ogni peso, con esponenti della x sempre più alti; il tocco di classe di Dedekind è stato quello di aggiungere al peso come calcolato prima anche il coefficiente di termine più alto dell’equazione stessa. Un vero e proprio uovo di Colombo!

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Maurizio Codogno

Maurizio Codogno, noto online come .mau., è nato a Torino nel 1963, e si è laureato in matematica presso la Scuola Normale Superiore di Pisa e successivamente in informatica a Torino. Autore di numerosi libri di divulgazione scientifica, tra cui “Matematica in pausa caffè” e “Chiamatemi Pi Greco”, ha il suo blog “Notiziole di .mau.” dall’inizio del millennio ed è stato curatore della collana di libri Matematica di Gazzetta dello Sport e Corriere della Sera.