Maurizio Codogno, meglio noto in rete come .mau., racconta come lui vede la matematica, con la scusa di non doverla insegnare né crearne di nuova. Ma voi pensate davvero che ai matematici piaccia fare i calcoli, o almeno lo trovino una cosa naturale? Vi assicuro che non è così.
Qualche giorno fa il matematico britannico Rob Eastaway ha raccontato su Bluesky di avere visto una ragazza che si preparava per gli esami GCSE, che se non ho capito male sono quelli che si fanno alla fine delle superiori se non si pensa di continuare con una carriera universitaria. Per allenarsi esiste una piattaforma informatica che si chiama Sparx Maths; la domanda che era stata posta alla ragazza era di espandere il polinomio \((3x + 5)^4\); inoltre, per verificare che non barasse con l’intelligenza artificiale, doveva non solo scrivere la risposta corretta ma anche tutti i passaggi che aveva fatto per arrivarci. Il commento di Eastaway è stato “Mi spiace: questa non è matematica, ma sono cinque minuti di inutili calcoli”. (Letteralmente, “Sorry, this isn’t maths, it’s five minutes of pointless number-crunching.”)
Come dargli torto? È la stessa cosa che penso io quando i miei figli arrivano a chiedere aiuto con delle espressioni da risolvere che non hanno nessuno scopo se non togliere qualunque interesse nei riguardi della matematica. A voler essere generosi possiamo dire che un po’ di utilità ce l’hanno: costringono il povero risolutore a imparare a fare attenzione nei singoli passaggi, e non perdere per strada un segno o un coefficiente. Ma a questo punto tanto vale insegnare a fare merletti oppure assemblare un Lego: la necessità di attenzione è simile, ma almeno il risultato finale è più piacevole alla vista e porta più soddisfazione. (D’accordo, probabilmente un merletto fatto da me non rientrerebbe in questa categoria e assomiglierebbe più al tipico risultato che si ottiene la prima volta che si tenta di svolgere un’espressione particolarmente complicata: ma il principio resta).
Non sono contrario a priori a far fare qualcuno di questi esercizi, ma solo per prendere la mano con le operazioni: una volta compresi quali sono le (poche, in realtà) regole del gioco possiamo tranquillamente darle per scontate e passare ad altro. In questo caso io ricordo a memoria la formula per la quarta potenza di un binomio, perché i coefficienti sono la riga corrispondente del triangolo di Tartaglia; conosco anche le prime potenze di 3 e 5 e potrei fare tutti questi conti, ma non ne vedo appunto l’utilità. Una volta spiegato cosa si deve fare, tutti i prodotti si possono fare con una calcolatrice, senza dover consumare inutilmente neuroni nel “pointless number-crunching”. Quello che trovo davvero difficile è spiegarlo agli insegnanti… tanto non sono cose che arrivano all’esame di maturità, e quindi si può anche andare leggeri su questi esercizi.
Ma la storia ha anche un seguito, che però si trova sull’ex Twitter. Eastaway scrive che al primo tentativo la ragazza ha avuto una distrazione e quindi ha dato una risposta sbagliata. Al secondo tentativo, scocciata, ha effettivamente chiesto all’IA la soluzione e l’ha riportata termine per termine sul proprio foglio di carta: \(x^4 + 540x^3 + \cdots \; \) E qui casca l’asino. Come dicevo, per me non è così importante mettersi a fare questo tipo di conti: ma un sedicenne dovrebbe sapere che non deve farli fare a un LLM, almeno per il momento, perché esso non ha nessuna idea di cosa sta facendo e cerca solo di mettere insieme termini sintatticamente coerenti ma che non hanno senso semantico. Quello che la ragazza avrebbe dovuto fare era per esempio usare Wolfram Alpha e vedere qual è il risultato corretto; è vero che i chatbot spiegano la rava e la fava di come loro sono arrivati alla “soluzione” e quindi lo si può copiare, ma se arrivano alla soluzione sbagliata serve a poco.
Ciò detto, io sono notoriamente malfidente e ho chiesto a ChatGPT “espandi il polinomio (3x + 5)^4”, e mi ha dato la risposta corretta. Magari Eastaway voleva prenderci in giro? Oppure la ragazza si è dimenticata di copiare il primo coefficiente quando ha inserito la risposta? La cosa avrebbe senso, e tra l’altro sarebbe la controprova che non sono gli inutili calcoli a essere importanti, ma l’attenzione a quello che si sta facendo…
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Maurizio Codogno, noto online come .mau., è nato a Torino nel 1963, e si è laureato in matematica presso la Scuola Normale Superiore di Pisa e successivamente in informatica a Torino. Autore di numerosi libri di divulgazione scientifica, tra cui “Matematica in pausa caffè” e “Chiamatemi Pi Greco”, ha il suo blog “Notiziole di .mau.” dall’inizio del millennio ed è stato curatore della collana di libri Matematica di Gazzetta dello Sport e Corriere della Sera.
Non è detto che sia solo number crunching. E’ immediato constatare che il polinomio (3x-5)^4 ha unica radice -5/3 di molteplicità 4. In questo caso, nota la radice, rovesciamo l’approccio solito e vediamo di trovare i coefficienti a(i) del polinomio a partire dalla radice. A questo scopo ci vengono in soccorso le equazioni di Viete, che mettono in relazione le radici di un polinomio con i suoi coefficienti. Nel caso di unica radice r di molteplicità n, per ogni i =1,…,n, le equazioni prendono la forma
(*) c(n, i)* r^i*a(n)*(-1)^i = a(n-i)
in cui c(n, i) indica il numero di combinazioni di classe i di n elementi. Nel caso n=4 abbiamo allora
-4*(-5/3)^1*a(4) = a(3)
6*(-5/3)^2*a(4) = a(2)
-4*(-5/3)^3*a(4) = a(1)
1*(-5/3)^4*a(4) = a(0)
Dovendo essere i coefficienti interi, nell’ultima equazione consideriamo a(4) come il più piccolo dei multipli di 3^4=81, cioè 81 stesso (con multipli più grandi avremmo multipli del polinomio cercato). Gli altri a(i) si ricavano direttamente dalle restanti equazioni.
Come si vede, c’è poco o per nulla “number crunching”… E chissà se i portentosi mezzi AI attuali riescono almeno a pareggiare un matematico vissuto oltre 4 secoli fa!
O magari l’output di un LLM non è solo funzione dell’input, ma anche, tra l’altro, del precedente prompting dell’utilizzatore.
Nel mio caso ovviamente non avevo prompt precedenti (e non permetto di salvare le mie query precedenti). Per la ragazza, non so.
Ciao Maurizio. Non sono tanto d’accordo con te. Non sono 5 min. di calcoli inutili, bensì rafforzano il “pensamento” e il “raziocinio logico”!! Per calcolare mentalmente appunto (3x+5)⁴ non c’è alcun bisogno di allargarlo in (3x+5)(3x+5)… ecc. e tantomeno di usare una calcolatrice!! Nello sviluppo che calcolarò rigorosamente tutto mentalmente si sa che la “x” scenderà progressivamente di grado e che i coefficienti si dovranno moltiplicare tra di loro a partire dalla “x³” fino alla “x” così: “x⁴•3⁴ + x³•3³•5•4 + x²•3²•5²•6 + x•3•5³•4 + 5⁴” . Da qui direttamente il risultato finale sarà di:
“81x⁴+540x³+1250x²+1500x+625” !! Con ciò voglio dire che usare la calcolatrice è troppo semplice, questo NON ti aiuta di spremere le “MENINGI” che otterrai solamente con il “POTENZIANENTO & SVILUPPO dei cosiddetti NEURONI DORMIENTI” ~> tanto bistrattati da te nel tuo paragrafo♂️!! Il cervello è un importantissimo MUSCOLO e se NON allenato a dovere NON ti porterà mai degli ottimi benefici legati al RAGIONAMENTO LOGICO e quindi al famigerato PROBLEM SOLVING!! Secondo il tuo ragionamento a che pro dovremmo imparare le TABELLINE e le 4 operazioni basiche dell’aritmetica(?!), se poi abbiamo la possibilità di affidarci semplicemente e soprattutto senza alcuno sforzo alla calcolatrice o all’AI?! Il punto fondamentale è che la matematica va compresa e per far sì che ciò avvenga, gli insegnanti dovrebbero essere in grado di spiegarla con passione e con concetti “semplici e comprensibili” affinché gli studenti possano amarla e affrontarla senza timori reverenziali!! Ma il più delle volte questo non accade perché sono a sua volta gli stessi insegnanti che, per non aver avuto un’ “istruzione meticolosa e capillare” a dovere, a NON saperla insegnare appunto con passione ecc… (“giocando in difesa”) per mancanza di “conoscenze a livello basiche”!!
In sostanza prendendo in esempio l’esercizio tuo di un “BINOMIO elevato alla QUARTA”… se non si è capaci di sviluppare e calcolare in maniera scritta moltiplicando tra loro tutti i termini dei vari BINOMI dati, è dovuto alla mancanza di conoscenze basiche dell’aritmetica e di conseguenze anche dell’algebra!! Non dico di calcolarlo direttamente tutto mentalmente come l’ho fatto io, ma perlomeno di essere in grado di svolgerlo in forma scritta, ebbene sí dobrebbe essere la prassi! Io che son bravo con il “CALCOLO MENTALE” ovviamente non ho trovato nessuna difficoltà a risolverlo in pochi secondi, ma ti assicuro che al contrario di quello che affermi tu… il CALCOLO MENTALE invece ti costringe a “spremere le meningi” ed è proprio l’esercizio essenziale che ti permette appunto lo “SVILUPPO & POTENZIAMENTO” di quei cosiddetti NEURONI DORMIENTI INUTILIZZATI posti in quella parte della “CORTECCIA CEREBRALE” che altrimenti, se non stimolati, mai e poi mai saremmo più in grado di utilizzarli poiché destinati a una morte inesorabile!! Tutto ciò ti permette di aumentare anche i “Gigabyte” della MEMORIA e ne beneficeranno anche altre materie scolastiche oltre a quella della matematica!!
Altrimenti come vuol fare il MINISTRO DELL’ISTRUZIONE non avrebbe avuto senso neanche a rimettere l’obbligo di imparare a memoria le POESIE… se fosse bastato leggerle con il libro aperto e per fare i calcoli usare la calcolatrice, o no?! Arrivederci!!
Beh, io so moltiplicare a mente 3³•5•4, x²•3²•5²•6, 3•5³•4; ma non è detto che uno studente medio riesca a farlo, e onestamente non glielo chiederei nemmeno. Le tabelline sono l’abc, o se preferisci l’123, della matematica. Lo stesso con le operazioni di base, ma già l’estrazione di radice quadrata che si insegna a scuola è un algoritmo che risulta oscuro a chiunque. Forse adesso saprei ricavare una spiegazione del perché funziona, ma al tempo era per me una oscura stringa di operazioni da compiere.
E anche quando ero studente io e le poesie dovevo impararle a memoria (non lo facevo, me le appiccicavo la sera prima…) non vedevo una differenza con il ricordarsi tutte le formazioni delle nazionali ai mondiali di calcio. Occhei, se io avessi dovuto scegliere mi sarei rivolto alle poesie, ma solo perché dal mio punto di vista c’era più contesto e quindi potevo ricordarle meglio. L’estrazione di radice quadrata era appunto un puro assemblaggio di regole senza nessun senso visibile: io e la matematica siamo sempre andati d’accordo e quindi la saprei fare ancora adesso, ma io sono un’eccezione.
Il mio modo di vedere la matematica è qualcosa che funziona per logica a partire da un numero relativamente piccolo di fatti che so a memoria. Lo sviluppo di (a+b)^4 è uno di quelli (ma già dovesi calcolare (a+b)^6 mi metterei a disegnare il triangolo di Tartaglia); calcolare (3x + 5)^4 non fa parte della matematica, ma è un’applicazione della matematica. E per favore, se si vuole sviluppare e potenziare le connessioni neurali non lo si faccia con la matematica. Già non è qualcosa di semplice, ma volete farla odiare ancora di più?