di Erasmo Modica

Viene di seguito proposta un’applicazione del differenziale di una funzione all’economia. Dopo aver definito il concetto di costo marginale della produzione di un dato bene da parte di un’azienda, viene proposta una semplice applicazione per la comprensione del suo significato.

Unità di apprendimento in cui inserire l’attività: differenziale di una funzione

Contesto: 5° anno del Liceo Scientifico, 4° anno degli Istituti Tecnici Commerciali

Collegamenti interdisciplinari: economia

Concetti-chiave in lingua inglese: differential of a function, linear approximation, marginal cost

Competenza: Avere padronanza degli strumenti matematici per la costruzione di modelli

Conoscenze:

• Concetto di differenziale
• Concetto di derivata
• Approssimazione lineare di una funzione

Abilità:

• Saper derivare una funzione
• Saper determinare il differenziale di una funzione.
• Saper approssimare linearmente una funzione.

Quando un’azienda produce un bene, si effettua una distinzione tra i costi fissi $$C_f$$, necessari per avviare l’impresa, e i costi variabili che invece dipendono dalla quantità di beni che l’azienda è in grado di produrre.

Se si indica con x la variabile “beni prodotti dall’azienda” e con $$C_v$$ i costi variabili per la produzione dei beni, il costo totale sarà dato da:

$$C(x)=C_f+C_v(x)$$

Definizione. Si dice costo marginale della produzione dei beni, la derivata rispetto alla variabile x della funzione che definisce il costo totale.

Osservando che la funzione costo totale C(x) è la somma di un termine fisso e di uno variabile e ricordando che la derivata di una costante è pari a zero, si avrà che il costo marginale coincide proprio con la derivata della funzione che definisce i costi variabili. In formule:

$$C'(x) = C_v'(x)$$

 Inoltre, si nota facilmente che il costo marginale ha le stesse dimensioni del costo per unità di prodotto.

Sfruttando il concetto di approssimazione lineare di una funzione, possiamo scrivere:

$$C(x+\Delta x) \approx C(x)+C'(x) \cdot \Delta x$$

Se si pone Δx = 1, si può subito dedurre che il costo marginale è dato dall’incremento di costo necessario per la produzione di una nuova unità di prodotto.

Supponiamo che la funzione:

$$C(x)=C_f+3 \cdot x^{0,5}$$

 rappresenti la funzione del costo totale per la produzione di un dato bene x da parte di un’azienda.

Il costo marginale sarà quindi dato da:

$$C'(x)=3 \cdot 0,5 \cdot x^{-0,5}=\frac{1,5}{x^{0,5}}$$

Se l’azienda considerata produce soltanto 60 unità del bene, il costo marginare sarà dato da:

$$C'(60)=\frac{1,5}{60^{0,5}}\approx 0,19$$

Quindi se si vuole produrre una nuova unità del bene, sarà necessario spendere 19 centesimi in più.

Analizzando le proprietà della funzione che esprime il costo marginale, si nota subito che tale funzione è di tipo potenza ed è decrescente, pertanto se aumenta la produzione del bene da parte dell’azienda, il costo marginale si ridurrà sempre di più.