Cosa vuol dire collaborare con un matematico straordinario come Cédric Villani? Tra sfere, trasporto di sabbia, e frenetici scambi di emails, ce lo racconta Alessio Figalli. Tenetevi forte.

I lettori di Maddmaths! conoscono bene Alessio Figalli, che abbiamo intervistato qualche tempo fa, e che l’estate scorsa ha vinto il premio dell’European Mathematical Society come uno dei migliori matematici europei sotto ai 35 anni . E ricordiamoci anche che Alessio, che di anni ne ha 29, è Full Professor alla University of Texas a Austin. In questo articolo, Alessio ci racconta delle sue interazioni matematiche con Cédric Villani.

Cédric&me

di Alessio Figalli

Con Cédric ho avuto modo di collaborare fin dalla mia tesi di dottorato (che svolsi in cotutela tra la Normale di Pisa e l’Ecole Normale di Lione sotto la supervisione di Luigi Ambrosio e dello stesso Cédric) ma la collaborazione più intensa è iniziata qualche anno dopo, intorno al 2008. L’argomento della nostra ricerca era il transporto ottimale: trovare il modo più economico di trasportare una distribuzione di massa da un luogo a un altro. Il primo a proporre il problema in maniera formale è stato Gaspard Monge nel 1781. La motivazione di Monge per studiare questo problema era di natura militare: qual è la maniera ottimale di spostare una certa quantità di terra per costruire delle fortificazioni, supponendo che il “costo di trasporto” sia proporzionale alla distanza percorsa? Riuscire a dimostrare matematicamente che un tale trasporto ottimale esistesse e fosse unico è stato un problema aperto per oltre 200 anni, finché, tra la fine degli anni ’80 e gli anni ’90, ci fu un vero “boom” di risultati sull’esistenza e unicità del trasporto ottimale che dipendono dalla scelta del costo di trasporto (il costo per trasportare della massa da un punto a un altro può essere uguale alla distanza, oppure al quadrato della distanza, o alla radice quadrata della distanza…, dipende da cosa si sta modellizzando). Più recentemente il trasporto ottimale si è rivelato uno strumento matematico che ha trovato applicazioni in tanti altri problemi: le equazioni alle derivate parziali, la geometria, eccetera.

In questi ultimi anni si e’ sviluppato un interesse sempre maggiore attorno alla questione della sua regolarità: se le densità che si vogliono trasportare sono “regolari”, il trasporto è anch’esso “regolare”? Nel caso in cui le densità vivono in Rⁿ ed il costo è dato dalla distanza al quadrato, una teoria ben precisa fu sviluppata da Caffarelli negli anni ’90. Se pero’ ci troviamo in uno spazio “non piatto” (per esempio sulla Terra, che è rotonda), la regolarità del trasporto diventa una questione molto delicata. In un articolo del 2005, di Ma, Trudinger e Wang, gli autori introdussero una condizione sul costo di trasporto per ottenere che la mappa di trasporto sia regolare, e due anni dopo Loeper mostrò che questa condizione non solo era sufficiente, ma anche necessaria. A quel punto ci fu molta gente che iniziò a studiare questa condizione. In particolare, da un punto di vista geometrico, la questione divenne la seguente: consideriamo il problema del trasporto ottimale su di una varietà Riemanniana dove il costo è dato dalla distanza Riemanniana al quadrato. Per quali varietà questo costo soddisfa la condizione di Ma-Trudinger-Wang? E, viceversa, se una varietà soddisfa tale condizione, quali proprietà geometriche possiamo dedurre? Intorno al 2008, Cédric Villani e Gregoire Loeper da un lato, e io e Ludovic Rifford dall’altro, ottenemmo vari risultati parziali in risposta a queste domande. Ad un certo punto, io, Cédric e Ludovic decidemmo di cominciare un progetto a tre per cercare di avanzare più velocemente su questo tipo di domande. In particolare, la questione più delicata che decidemmo di affrontare era la seguente: da un lavoro di Loeper, sapevamo che la sfera soddisfaceva la condizione di Ma-Trudinger-Wang. Consideriamo ora una perturbazione della sfera. È vero che tale condizione è ancora soddisfatta? Questa domanda può sembrare di interesse ridotto, ma ha in realtà implicazioni non banali: se la risposta fosse stata positiva avremmo potuto dedurre delle informazioni molto forti sulla geometria del “cut-locus” per perturbazioni della sfera (non entro in dettagli su questo aspetto)[NdR: meno male…]. Da una parte, il fatto che io e Ludovic avessimo già risolto il problema positivamente nel caso bidimensionale ci faceva ben sperare. Dall’altra, quando la dimensione diventava 3 o maggiore, il livello di complessità del problema tendeva a diventare estremamente notevole. Ricordo che passammo 2-3 mesi a cercare di dimostrare che il risultato era vero; poi, scoraggiati dai fallimenti, per almeno 3-4 mesi cercammo di costruire un controesempio per far vedere che il risultato era falso (ricordo che, per quest’ultimo, cercammo di usare metodi di controllo ottimo e dopo più di 30 pagine di stime molto delicate ci rendemmo conto che il controesempio non poteva essere prodotto in quella maniera). Alla fine, come spesso succede, le cose si sbloccarono per caso: a seguito di alcune discussioni tra me e Ludovic e alcuni scambi di email con Cédric, trovammo l’idea giusta per risolvere il problema e finalmente dimostrare che il risultato che cercavamo era vero! Sostanzialmente, lo dico per gli “esperti”, posso dire che il punto chiave fu capire come scrivere in maniera furba i campi di Jacobi su una perturbazione della sfera e, in particolare, scoprirne le varie simmetrie. Fu una bella soddisfazione e tutto il periodo della collaborazione fu estremamente divertente (tra me, Cédric e Ludovic ci sono ottimi rapporti).