Ci sono matematici che ci colpiscono soprattutto per l’abilità tecnica e altri che ci impressionano prevalentemente per il loro senso estetico. Direi che Vaughan Jones è stato in primis un artista, un matematico visionario che produceva teoremi come un grande pittore può dipingere un quadro. Capace di collegamenti incredibili con la semplicità dei grandi.

Ma prima di scrivere due o tre cose sul matematico, non posso non dire subito che Vaughan è stato un grande amico per chi ha avuto la fortuna di poterlo conoscere, una persona di umanità e comprensione straordinaria.

Ho avuto il privilegio di conoscerlo sin da giovane. Qualche anno fa, durante la mia conferenza in un convegno in Cina che si teneva in suo onore, dissi che probabilmente ero la persona in quell’aula che aveva conosciuto Vaughan prima di tutti. Vaughan intervenne per confermare e disse: “Anche prima di mia moglie!”. E infatti ci eravamo incontrati freschi di laurea ad un convegno a Marsiglia: l’empatia e il carattere informale di Vaughan colpivano un po’ tutti.

Vaughan, neozelandese, era attratto dai fondamenti matematici della Meccanica Quantistica e stava per iniziare il dottorato con J. Jauch a Ginevra, volendo seguire le tracce lasciate dai fondamentali lavori di John von Neumann. Invece, a causa della morte di Jauch, si ritrovò a fare il dottorato con A. Haefliger. In quel periodo, influenzato dai fondamentali lavori di Alain Connes, comincia a studiare le algebre di von Neumann, in particolare la classificazione dei gruppi finiti di automorfismi di fattori finiti, l’inizio di una una strada che pochi anni dopo lo porterà alla sua prima sensazionale scoperta, l’indice di Jones.

Fig. 1: I “misteriosi” valori dell’indice di Jones

I fattori finiti sono algebre di von Neumann con centro banale che hanno un funzionale traccia. Un’inclusione di fattori finit possiede un indice, definito in modo naturale tramite la traccia. La cosa più sorprendente è che i valori possibili dell’indice sono “quantizzati”: vi è una serie discreta \(\{4\cos^2 (\pi/n) : n = 3, 4, 5\dots \}\) e poi il continuo dei valori \(\geq 4\). Perché questi valori? Si apre qui un campo di ricerca con risultati spesso assolutamente sorprendenti e peraltro ancora di attualità. La ricerca sulle Algebre di Operatori si è per anni focalizzata sui sottofattori, con risultati sulla classificazione di S. Popa e A. Ocneanu prima e U. Haagerup, M. Izumi e diversi altri poi.

Fig. 2: Regole di commutazione tra i proiettori di Jones-Temperley-Lieb. Si noti la similarità con la presentazione del gruppo delle trecce di Artin

Siamo negli anni ‘80 e subito dopo questa scoperta ne arriva un’altra, altrettanto sensazionale. Vaughan si accorge che le relazioni di commutazione tra proiettori intrinsecamente associati a un sottofattore con indice finito producono una rappresentazione del gruppo delle trecce di Artin con cui definisce un nuovo invariante per nodi topologici, il famoso Polinomio di Jones, che dà nuova vita a un campo da tempo poco attivo. Ad ogni nodo \(L\) viene associato un polinomio \(V_L\). È il primo invariante capace di distinguere un nodo dalla sua immagine riflessa ed è calcolabile tramite una regola di somma e una semplice regola di intrecciamento (come il polinomio di Alexander conosciuto da tempo, ma molto più efficacemente). Matematici in vari campi riconoscono questo polinomio nel proprio lavoro, un velo si è alzato su un gioiello che non era stato notato. In particolare, Edward Witten offre una descrizione del polinomio di Jones nella Teoria Quantistica dei Campi.

È difficile trovare risultati con un impatto così ampio e trasversale nella Matematica e nella Fisica come quelli citati, per cui Vaughan Jones è stato insignito nel 1990 con la Medaglia Fields. Anche in quella occasione mantenne il carattere informale che lo contraddistingueva e ritirò il premio indossando una maglietta della nazionale di rugby della Nuova Zelanda.

Ricordo quando a metà anni ‘80 ricevetti un plico da Vaughan con i suoi articoli, alcuni ancora non pubblicati, insieme a un suo saluto. Ebbi subito la sensazione che ci fosse qualche relazione con i miei lavori sulle inclusioni split di algebre di von Neumann, sebbene i contesti fossero disgiunti. Non molto tempo dopo, nel 1988, leggendo i lavori base di Doplicher, Haag e Roberts (DHR) sui settori di superselezione mi si accese una lampadina: la dimensione statistica DHR è la radice quadrata dell’indice di Jones!

Fig. 3 Regola di intrecciamento per il polinomio di Jones: \(t^{-1}V_{L_+} – tV_{L_-} = (t^{1/2} – t^{-1/2})V_{L_0}\)

Comincia così un capitolo in cui la teoria di Jones entra intrinsecamente in iterazione nella Teoria Quantistica dei Campi, e ancora oggi svolge un ruolo di primo piano. Nelle Teorie Conformi, in particolare, l’indice di Jones si rileva uno strumento potente e porta a una prima classificazione, un’avventura che ho avuto la fortuna di vivere insieme ad altri colleghi come Yasu Kawahigashi e Feng Xu.

Data la sua influenza sulla scuola romana, l’Università di Roma Tor Vergata ha conferito a Vaughan Jones nel 2016 la Laurea Honoris Causa in Matematica. In quell’occasione Vaughan ha fatto un discorso semplice ed efficace (poi pubblicato dal Sole 24 Ore¹), con la simpatia di sempre, in cui dava un’idea ai non matematici di cosa fosse la Matematica.

Vaughan è stato a lungo professore negli Stati Uniti, alla University of Pennsylvania, a UCLA e più a lungo Berkeley dove ha formato parecchi matematici. Aveva relazioni amichevoli con i giovani del suo gruppo di ricerca e con i colleghi, con abituali cene dopo il seminario. Una famiglia felice, gli piaceva cantare, lo ricordo piacevolmente cantare con la moglie Wendy e i figli prima del pranzo di Thanksgiving a casa sua. Era appassionato di windsurf e, più recentemente, di kite.

Con spirito di servizio, aveva svolto tra l’altro il ruolo di vice-presidente dell’International Mathematical Union. Era sempre disponibile per discussioni di Matematica e curioso di conoscere i risultati più svariati. Aveva grande interesse nell’interazione fra campi apparentemente distanti della Matematica e della Fisica che studiava con talento straordinario.

L’anno scorso avevamo organizzato insieme il programma Operator Algebras and Applications al Simons Center a Stony Brooks. Le discussioni di Matematica e un po’ di tutto con Vaughan sono un gran bel ricordo per me e credo per tutti i partecipanti.

Si era trasferito nel 2011 alla Vanderbilt University a Nashville e lì collaborava con il suo collega e amico di lunga data Dietmar Bisch sulle algebre planari, una descrizione grafica dei sottofattori.

Ci ha lasciato improvvisamente in un giorno di Settembre.

Roberto Longo

Roberto Natalini

Roberto Natalini [coordinatore del sito] Matematico applicato. Dirigo l’Istituto per le Applicazioni del Calcolo del Cnr e faccio comunicazione con MaddMaths!, Archimede e Comics&Science.