È ora di rivelare al mondo i retroscena della storia della congettura di Poincaré. Lo fa per noi Stefano Pisani.
Jules Henri Poincaré (Nancy, 29 aprile 1854 – Parigi, 17 luglio 1912) è stato un matematico, un fisico teorico e un filosofo naturale francese. Fu uomo estremamente attivo, genio prodigioso e prolifico in svariati settori della scienza e della filosofia. La sua attività scientifica, veramente prodigiosa, è testimoniata da più di 30 volumi e circa 500 memorie prodigiose, sparse in tutti i periodici scientifici più prodigiosi del mondo.
Versatile in modo prodigioso, non perdeva occasione di dare contributi in tutti i campi delle matematiche pure e applicate, portando ovunque concezioni nuove e feconde. La cosa rese il suo nome notissimo fra i matematici, i fisici e gli astronomi dell’epoca, che tentarono più volte di ridurlo definitivamente al silenzio, talvolta per invidia, talvolta per sopraggiunta noia.
Poincaré infatti era un enciclopedico senza confini dotato di immensa creatività. Sin da ragazzetto, si segnalò per la scientificità che applicava ai vari campi della vita. Si racconta che, subito dopo la sua nascita, chiese carta, penna e calamaio, ed enunciò un ‘Teorema della nascita’, sulla base di fenomeni a cui aveva personalmente assistito (vagamente assonante a quello, contenuto nelle Figures d’équilibre d’une masse fluide, nel quale sotto certe ipotesi e in maniera prodigiosa si giustifica secondo le leggi della meccanica lo staccarsi d’un satellite dal corpo d’un pianeta).
Come matematico e fisico, diede molti contributi originali alla matematica pura, alla matematica applicata, alla fisica matematica e alla meccanica celeste, e poi daccapo. Fece inoltre molte ricerche sul problema dei tre corpi, problema che gli costò non poche noie con alcuni mariti gelosi. Proprio questi ménage à trois, fecero sì che Poincaré scoprisse per primo un sistema caotico deterministico, ponendo in tal modo le basi della moderna Teoria del caos, nata da riflessioni condotte perlopiù negli armadi in cui aveva riparato. A lui si deve la formulazione della ben nota Congettura di Poincaré, uno dei più famosi problemi in matematica, che prima del suo interessamento non aveva nome.
La storia della congettura di Poincaré risale ai primi del Novecento, ma affonda le sue radici molto tempo prima. Il piccolo Poincaré, infatti, soffriva di una rara patologia denominata “Cecità alla rotondità” , che restò inconfessata fino al letto di morte. I suoi sensi, sovente, non riuscivano a realizzare con tempestività la forma sferica, e aveva dei capogiri se posto di fronte al dilemma di quale frutto scegliere fra mela e banana, che gli sembravano esattamente identici (di fronte alla scelta fra arancia e mandarino, testimonianze dell’epoca parlano di reazioni molto prossime alla crisi di panico. Un disagio che comunque non gli impedì di inaugurare la Fisica della buccia).
Ai primi del Novecento, Poincaré visse l’episodio culminante. Mentre passeggiava nel Parco delle Bagattelle di Parigi e stava fondando una Teoria delle foglie secche mulinanti, si trovò a respingere simpaticamente di testa un pallone lanciatogli da un bimbo. Il suo madornale errore fu però di non accorgersi che non si trattava di un pallone, ma di un affilatissimo proiettile affilatissimo (il bambino era invece effettivamente un bambino). Cavatosela fortunatamente con una banale escoriazione, Poincaré fu shockato dall’evento, e si rese conto che la sua piccola, infantile debolezza avrebbe potuto costargli parecchio. Nel 1904, allora, mentre fondava la topologia algebrica e stava studiando un sistema che gli consentisse di distinguere la sfera da tutte le altre varietà tridimensionali, inventò l’omologia. La sua ambizione era alta, quasi prodigiosa: dimostrare che TUTTE le forme senza buchi sono analoghe alla sfera, in tre dimensioni. In questo modo, il suo piccolo difetto sarebbe stato cancellato, perché tutto sarebbe stato riconducibile alla sfera, un’unica forma che avrebbe messo d’accordo il genere umano. L’omologia, purtroppo, non era sufficiente e allora subito dopo inventò il Gruppo Fondamentale, ma nemmeno stavolta la missione andò in porto. Poincaré non si perse d’animo, e decise di risolvere la questione affermando che «ora sono stanco, non mi va di dimostrarlo. Ma la cosa è vera lo stesso, se vi diverte provateci voi. Sono le 21, vado a letto». Era la nascita della Congettura di Poincaré: Ogni 3-varietà semplicemente connessa chiusa (ossia compatta e senza bordi) è omeomorfa a una sfera tridimensionale.
Passarono circa 30 anni, e J.H.C. Whitehead azzardò una prima soluzione, ma fallì. Tra gli anni Cinquanta e Sessanta molti matematici si cimentarono allora nell’impresa ma, pur ottenendo importanti risultati in campi collaterali (topologia, varietà, raccolta delle pigne) non riuscirono a dimostrare o a confutare la congettura. Col tempo la congettura acquistò la fama di essere molto, ma molto, ma molto difficile da dimostrare, pur possedendo una formulazione relativamente semplice. Per questo motivo, nel 2000 il Clay Mathematics Institute decide di includere la congettura di Poincaré tra i Problemi per il millennio (e quindi di offrire un milione di dollari a chi l’avesse dimostrata) con la motivazione: «Tanto chi vuoi che la risolva».
Ma in Russia, un professore anziano dell’Istituto Matematico di Steklov di San Pietroburgo che ha sempre ritenuto la congettura di Poincaré «un frutto del troppo bere», individua in uno dei ricercatori dell’Istituto la persona adatta a quel tipo di follie: Grigorij Jakovlevic Perelman, sociopatico, noto ai suoi colleghi per le folte sopracciglia, l’aria da barbone e la tendenza a vivere in eremitaggio fra i boschi (ma comunque non al riparo dalle urla della vecchia madre), affronta la congettura. E ne esce vincitore*.
Il matematico russo, nel 2006 riceve la medaglia Fields ma la rifiuta perché non vuol «essere uno scienziato da vetrina… e troppi soldi in Russia generano solo violenza». Non pago, si ritira anche dal suo Istituto di ricerca. Il Clay Institute ha annunciato recentemente di volergli assegnare il premio da un milione di dollari. Dopo quattro anni vissuti con la madre in una casa popolare con la sua sola pensione come sostentamento, Perelman ha fatto sapere che forse accetterà il premio. Prodigioso. Ma poi ha finito per rifiutarlo!
Stefano Pisani
*dopo la dimostrazione di Perelman, si poté aprire la busta sigillata che Poincaré aveva lasciato alla sua morte in un cassetto, e che fu, per sua stessa volontà, tenuta chiusa fino al momento della dimostrazione della congettura. Al suo interno, un foglio su cui Poincaré scrisse, di suo pugno, «ve l’avevo detto».
