T come Trasformata

On June 29, 2013
Anche la matematica permette di compiere piccole magie. Un colpo di penna, qualche formula magica, e una carta di cuori diventa di picche. Illusionismo? No, trasformismo... Il principio non è particolarmente esotico: si tratta di vedere lo stesso oggetto sotto un punto di vista diverso che, se ben scelto, può rivelare proprietà altrimenti nascoste.
Partiamo da un esempio geometrico: un insieme convesso, cioè uno che contiene tutti i segmenti che congiungono i punti dell'insieme. Un cerchio, un ellissi, un quadrato... fate voi. In genere, un insieme del piano si individua descrivendo il bordo che lo contiene, come nel caso di un cerchio che è individuato dalla circonferenza che lo delimita.  Per un convesso, esistono maniere alternative, magari meno naturali, che definiscono l'insieme altrettanto bene. Ad esempio, un insieme convesso si può rappresentare come intersezione di semipiani e per la precisione come intersezione di tutti i semipiani delimitati da rette tangenti al suo perimetro. Folle? No, ...visionario! Perché questa visione permette, a volte, di riconoscere simmetrie nascoste.  Questa maniera anomala di individuare insiemi convessi è il cuore (geometrico) della "trasformata di Legendre'" che in meccanica permette il passaggio dalla formulazione lagrangiana a quella hamiltoniana ed in termodinamica costituisce il legame tra energia ed entalpia, transizioni attraverso cui capita che il misterioso disordine delle strutture si trasformi in formule ordinatamente sintetiche.
Quella di Legendre è una delle tante trasformate che scorrazzano nei corridoi dei dipartimenti di Matematica e non solo. La regina di tutte è sicuramente la trasformata di Fourier--Laplace (si tratta in realtà di due procedimenti leggermente diversi tra loro che prendono l'avvio dallo stesso principio). Alla base ci sono due idee cruciali. La prima consiste nel fatto che un segnale (ad esempio, il suono congiunto di una orchestra) può essere rappresentato come sovrapposizione di segnali elementari che, nel caso della trasformata in questione, sono dati da esponenziali (reali o complessi). Conoscere il peso di ciascuno degli oggetti elementari equivale a conoscere il segnale completo. Quindi, dall'informazione relativa al quantitativo di ogni singolo ingrediente presente, si ricostruisce la miscela. A questo livello, si tratta sempre di "preparazioni lineari", cioè ricette in cui la somma degli elementi descrive il piatto completo, per via dell'assenza di interazioni anomale (che diremmo nonlineari) tra le parti...
La trasformata di Fourier-Laplace possede un potere magico aggiuntivo e, per gli esperti, strabiliante: tramutare l'operazione di derivazione in quella di moltiplicazione (grazie alla scelta esponenziale). La conseguenza notevole è che equazioni differenziali lineari, che altro non sono se non relazioni tra derivate di una funzione incognita, vengono di colpo trasformate in relazioni algebriche. Risolvere una equazione differenziale del primo ordine diventa facile come trovare le soluzioni di una equazione di primo grado, cioè trovare le intersezioni tra rette.
Equazioni di secondo grado si traducono in polinomi di secondo grado, per cui  occorre fare appello a parabole e formule risolutive più o meno note.  Con un colpo di bacchetta, si passa dal linguaggio differenziale a quello dell'algebra con il pregio di trovarsi a poter adoperare i potenti mezzi di una disciplina che, prima della trasformazione, sembrava solo un mondo distante.
Capita poi che i conti vadano fatti sul serio e tanta elegante teoria matematica non sempre sia sufficiente. La trasformata di Fourier è un oggetto che vive in spazi di dimensione infinita e la cosa non va d'accordo con la nostra disponibilità limitata di tempo... Senza darsi per vinti, si possono introdurre versioni "leggere'' della stessa operazione, come la trasformata di Fourier discreta che, attraverso l'uso dei computer e della loro potenza di calcolo, permette di calcolare, in concreto, il valore numerico degli ingredienti in gioco.  E, visto che c'è sempre qualcuno che non si accontenta, si possono anche proporre versioni più efficienti per il calcolo e considerare quella che è stata definita ``il più importante algoritmo numerico del nostro tempo'', la cosiddetta "Fast Fourier Transform'', o trasformata di Fourier veloce, buona per tutti quelli che vanno veramente di fretta.
Corrado Mascia

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