I problemi dell'anonimo giochista 2 - Le piastrelle di Nando

On April 15, 2017

Continua la rubrica di giochi matematici proposti da un anonimo giochista. Oggi il nostro anonimo ci propone la soluzione al primo problema (Un regalo inusuale), ma non ci dimostra che è la soluzione, e un nuovo problema a cui pensare durante le vacanze pasquali.

Buona digestione... ehm... buon divertimento con

2 - Le piastrelle di Nando

Nando ha ordinato per la sua cucina alcune piastrelle quadrate, tutte della stessa dimensione, interamente decorate sulla faccia principale con un motivo costituito da una scacchiera 6\times6 avente le caselle colorate di azzurro o di rosso.

Ogni colorazione usata è tale che non vi sono mai 3 caselle consecutive, allineate parallelamente ai lati e alle diagonali delle piastrelle, che siano colorate di rosso; inoltre, il numero di caselle colorate di rosso è il massimo per cui sia vera la precedente proprietà (la piastrella in figura non soddisfa la proprietà, dato che ha poche caselle rosse). Quante piastrelle diverse, al massimo, potrà installare Nando nella sua cucina? (Due piastrelle sono uguali se, ruotando opportunamente la faccia principale, le scacchiere hanno colorazioni sovrapponibili).


E ora, la soluzione al precedente problema. Se ancora non ci avete provato a sufficienza, leggete il problema e lavorateci un po' prima di leggere la soluzione.

 

 

 

 

 

 

 

1 - Un regalo inusuale (soluzione)

Le caselle da colorare sono 19. Le configurazioni buone sono quelle che hanno almeno una riga (ovvero una colonna) tutta colorata e poi una casella colorata per ogni altra riga (ovvero colonna). Per cui i modi di colorare la scacchiera sono 2\times(10^{10}) - 10^2.

Lasciamo al lettore il compito di dimostrare che questa è davvero la soluzione.

La dimostrazione della soluzione del problema 1 e la soluzione del problema 2 alla prossima puntata!

L'anonimo giochista

Alberto Saracco

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