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In matematica bisogna distinguere in maniera chiara tra articoli che presentano errori di tipo matematico sfuggiti alla peer review (e può succedere!) da articoli che sono invece frutto di comportamenti quanto meno poco attenti da parte del comitato editoriale della rivista o truffaldini da parte degli autori e che possono essere a tutti gli effetti chiamati “fake papers”. In questa rubrica ci vogliamo occupare di questi ultimi e, in particolare, di quelli che non risultano ritirati, descrivendo il problema di cui un fake paper si occupa – spesso problemi molto famosi. Ogni segnalazione di fake papers da parte dei lettori è benvenuta.

di Claudio Bonanno

Come si può continuare la sequenza del titolo? Forse avrete pensato ai valori di \(6^n\) (mod 11) per \(n\) da 5 a 10, come uno dei suggerimenti dell’Enciclopedia Online delle Sequenze di Interi [1 ]https://oeis.org/, ma parliamo invece dell’azione sul numero 10 della funzione \(T\) definita sui numeri naturali come
\[
T(n) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac n2\, , &\text{se \(n\) è pari}\\[0.2cm] \frac{3n+1}{2}\, , &\text{se \(n\) è dispari}
\end{array} \right.
\]
Troviamo infatti \(T(10)=5\), \(T(5)=8\), e così via, e quindi \(T(1)=2\) è il numero successivo della sequenza, e poi ancora \(T(2)=1\), e continuando si trovano 1 e 2 alternativamente. Diciamo che 1 e 2 formano un ciclo.

Nel titolo abbiamo iniziato applicando la funzione \(T\) al numero 10 in onore dell’anniversario di MaddMaths! [2 ]http://maddmaths.simai.eu/divulgazione/maddmaths-10-interventi/, ma quale sequenza troveremmo iniziando da un altro numero naturale? La risposta non è nota ma tutti i tentativi effettuati danno un’unica risposta:

tutte le sequenze portano al ciclo “1,2”

Quest’enunciato è il contenuto della congettura di Collatz, nota anche come congettura di Syracuse (con riferimento alla città statunitense e alla sua università), congettura \(3x+1\) (come si potrebbe definire \(T\) sui numeri dispari senza che cambi il comportamento delle sequenze), o in molti altri modi.

Dunque iniziando da un numero naturale \(n\), grande a piacere, dopo diverse applicazioni della funzione \(T\), si trova il 2, e poi l’1, e così via. E questo avviene senza che si osservi un comportamento necessariamente decrescente, o almeno quasi decrescente, dei numeri delle sequenze, anzi, anche partendo da numeri piuttosto bassi si ottengono numeri grandi. Provate partendo con il 27, e arriverete fino al 9232 prima di tornare giù fino al 2, partendo invece con il 703 si arriva fino a 250504, e poi si scende fino al 2. E’ stato verificato che la congettura è vera per tutti i numeri fino a \(2^{60}\) (si veda qui [3 ]http://www.ericr.nl/wondrous/sitemap.html, dove si trovano anche molte informazioni sul comportamento delle sequenze), ma ad oggi non c’è una dimostrazione che ci assicuri che la congettura sia vera per tutti i numeri naturali, o meglio, ad oggi non c’è una dimostrazione credibile della congettura per tutti i numeri naturali. Perché di dimostrazioni se ne trovano moltissime su pagine web, su preprint, su libri pubblicati indipendentemente, e purtroppo anche su riviste che applicano la peer-review.

In questo numero ci occupiamo proprio di una dimostrazione della congettura di Collatz pubblicata sulla rivista International Journal of Mathematical Education in Science and Technology [4 ]https://www.tandfonline.com/action/journalInformation?show=aimsScope$\&$journalCode=tmes20, che pur non essendo una rivista dedicata principalmente alla pubblicazione di contributi alla ricerca matematica, dichiara sul sito di applicare il principio della peer-review a tutti i suoi articoli da parte di revisori esperti. Evidentemente però gli esperti che hanno revisionato l’articolo di Paul S. Bruckman [5 ]Paul S. Bruckman, A proof of the Collatz conjecture, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology 39 (2008), no. 3, 403–407, Erratum, 39 (2008), no. 4, 567 non hanno controllato con molta attenzione, senza considerare che una dimostrazione corretta della congettura di Collatz meriterebbe maggior gloria e visibilità.

Quale strada seguire per provare a dimostrare la congettura di Collatz? Ad oggi sembra proprio mancare una risposta a questa domanda, una strada che possa sembrare promettente per la dimostrazione della congettura. Questo nonostante ci siano stati molti tentativi “seri”, e ci siano dimostrazioni di risultati intermedi. Nel libro “The ultimate challenge: the 3x+1 problem” edito nel 2010 da Jeffrey C. Lagarias per la casa editrice American Mathematical Society, si può trovare una raccolta di quanto rigorosamente dimostrato sulla congettura fino all’anno di pubblicazione.

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Vale la pena citare un paio di risultati rigorosi sulla congettura di Collatz.

Il primo fornisce una stima su “quanti” numeri possono non verificare la congettura. Se infatti indichiamo con \(\pi_1(x)\) il numero di naturali \(n\le x\) per cui la congettura è verificata, si ha che per \(x\) sufficientemente grande \[ \pi_1(x) > x^{0,84} \] Quindi, supponendo che \(x=10^{45}\) sia nell’intervallo di validità della stima, possiamo dire che ad esempio, tra i primi \(10^{45}\) numeri naturali, un miliardo di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi, almeno \(10^{37,8}\) di questi verificano la congettura. Rimangono comunque moltissimi numeri su cui nulla sappiamo, circa dieci milioni di numeri per ognuno di quelli che verificano la congettura.

Il secondo risultato riguarda l’esistenza di cicli. Abbiamo visto che la congettura dice che tutte le sequenze portano al ciclo “1,2”. Ma ci possono essere due modi in cui questo sia falso. Potrebbero esserci sequenze i cui numeri diventano sempre più grandi, quindi sequenze divergenti, o altri cicli. Qualche risultato è stato dimostrato sulle proprietà di eventuali cicli, ad esempio si sa che non possono essere troppo corti, e una stima dal basso sulla lunghezza di un possibile ciclo si ottiene usando la conoscenza sul comportamento delle sequenze. Ad esempio, sapendo che tutte le sequenze che partono con un numero naturale tra 1 e \(2^{60}\) portano al ciclo “1,2”, permette di concludere che non esistono cicli con meno di 338.466.909 elementi!

Analizziamo adesso qualche dettaglio dell’articolo di Paul Bruckman. L’idea della dimostrazione proposta è di ragionare per assurdo, ottenendo quindi l’impossibilità dell’esistenza del più piccolo numero naturale \(n_0\) la cui sequenza non porta al ciclo “1,2″. A partire dalla funzione \(T\) è possibile definire una versione “accelerata” che agisca solo sui numeri dispari, tramite
\[
U(n) = \frac{3n+1}{2^{e}}\, ,\quad \text{dove }\, e:= \max\{j\ge 1\, : \, 2^j || (3n+1)\}
\]
Partendo quindi da un numero naturale \(n_0\) dispari, possiamo definire le sequenze \(\{n_k\}\) con \(k\ge 0\), e \(\{e_k(n_0)\}\) con \(k\ge 1\), definite tramite
\[
n_1 = U(n_0) = \frac{3n_0 +1}{2^{e_1(n_0)}}\, ,\quad \text{e in generale}\quad n_k = U(n_{k-1}) = \frac{3n_{k-1} +1}{2^{e_k(n_0)}}
\]
Ragionando per ricorrenza si arriva dunque a stabilire l’equazione
\begin{equation} \label{diof}
2^{E_k}\, n_k = 3^kn_0 + S_k \tag{*}
\end{equation}
dove per ogni \(k\ge 0\), \(E_k\) e \(S_k\) sono numeri naturali definiti tramite \(E_0=S_0=0\), e
\[
E_k = \sum_{j=1}^k\, e_j(n_0) \qquad \text{e} \qquad S_k = \sum_{i=0}^{k-1}\, 3^{k-1-i}\, 2^{E_i}
\]
per ogni \(k>0\).

L’equazione \eqref{diof} si può interpretate come un’equazione diofantea, con \(2^{E_k}\), \(3^k\) e \(S_k\) fissati, e \(n_0\) e \(n_k\) incognite. Se indichiamo con \(A_k\) e \(B_k\) una soluzione di
\[
2^{E_k}\, B_k – 3^k A_k =1
\]
allora si ottiene
\[
n_0 = S_k A_k + T 2^{E_k}\quad \text{e} \quad n_k = S_k B_k + T 3^k
\]
per qualche intero \(T\).

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Soffermiamoci un attimo sull’equazione diofantea \eqref{diof}. Con qualche errore di battitura, nell’articolo di cui ci occupiamo si fa notare come le soluzioni siano ottenibili usando l’espansione in frazioni continue dei numeri razionali.

Data un’equazione della forma \begin{equation} \label{diof2} 2^d\, x – 3^c y =1\, , \qquad c,d \in {\mathbb N} \tag{**} \end{equation} che è legata a \eqref{diof} come spiegato sopra, il numero razionale \(\frac{2^d}{3^c}\) è ridotto e supponiamo, senza perdita di generalità, che sia minore di 1. Consideriamo la sua espansione in frazioni continue \[ \frac{2^d}{3^c} = [a_1,a_2,\dots,a_m] = \frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\dots}}} \] dove ricordiamo che i coefficienti \(\{a_j\}\) sono tutti numeri naturali. Non è difficile verificare che una soluzione di \eqref{diof2} è data da \[ [a_1,a_2,\dots,a_{m-1}] \quad \text{o} \quad [a_1,a_2,\dots,a_m-1] \] Ma come si arriva ad ottenere una tale espressione per una soluzione? Partiamo dalla costruzione delle frazioni di Farey \(\{ {\mathcal F}_n\}_{n\ge 0}\): \[ {\mathcal F}_0 = \left\{ \frac 01\, ,\, \frac 11\right\}\, ; \] avendo ordinato le frazioni di \({\mathcal F}_{n-1}\) in maniera crescente, le frazioni di \({\mathcal F}_n\) si ottengono aggiungendo a quelle di \({\mathcal F}_{n-1}\) le somme di Farey di due frazioni vicine.

Ricordiamo che la somma di Farey di due frazioni è definita tramite \[ \frac pq \oplus \frac rs := \frac{p+r}{q+s} \] e si trova quindi per i primi livelli \({\mathcal F}_n\) \[ {\mathcal F}_1 = \left\{\frac 01\, ,\, \frac 01 \oplus \frac 11\, ,\, \frac 11\right\} = \left\{\frac 01\, ,\, \frac 12\, ,\, \frac 11\right\} \] \[ {\mathcal F}_2 = \left\{\frac 01\, ,\, \frac 13\, ,\, \frac 12\, ,\, \frac 23\, ,\, \frac 11\right\} \] \[ {\mathcal F}_3 = \left\{\frac 01\, ,\, \frac 14\, ,\, \frac 13\, ,\, \frac 25\, ,\, \frac 12\, ,\, \frac 35\, ,\, \frac 23\, ,\, \frac 34\, ,\, \frac 11\right\} \] e così via. Le frazioni di Farey hanno interessanti proprietà, ma a noi serve solo ricordare che: ogni numero razionale tra 0 e 1, scritto in maniera ridotta, si può ottenere come frazione di Farey; esclusi \(0=\frac 01\) e \(1=\frac 11\), ogni numero razionale è scritto all’interno del livello in cui appare per la prima volta tra i suoi due “genitori” (ad esempio \(\frac 35\) appare per la prima volta in \({\mathcal F}_3\) e \(\frac 35= \frac 12 \oplus \frac 23\)); due numeri razionali \(\frac pq>\frac rs\), vicini in un livello, soddisfano la relazione \(ps-qr =1\); usando la teoria delle frazioni continue si vede che \[ [a_1,a_2,\dots,a_{n-1}] \oplus [a_1,a_2,\dots,a_n-1] = [a_1,a_2,\dots,a_n] \] Quindi, scelto il numero razionale \(\frac{2^d}{3^c}=[a_1,a_2,\dots,a_m]\), troviamo un livello \({\mathcal F}_n\) in cui appare per la prima volta, e i suoi “genitori”, che si trovano accanto a lui in \({\mathcal F}_n\), sono \([a_1,a_2,\dots,a_{m-1}]\) e \([a_1,a_2,\dots,a_m-1]\). Ne segue che il più grande tra i “genitori” di \(\frac{2^d}{3^c}\) è una soluzione di \eqref{diof2}.

Fin qui abbiamo seguito le notazioni e le prime relazioni trovate nell’articolo di Paul Bruckman, corrette ma non originali. La prima conclusione che si trae nell’articolo è che quanto scritto fin qui sia sufficiente a escludere l’esistenza di cicli diversi da “1,2″.

Purtroppo sembra che questa conclusione si basi su premesse non sufficienti o false. La prima è che \(2^{E_k}>3^k\) nell’equazione \eqref{diof}, senza altre condizioni su \(S_k\), implichi \(n_k<n_0\) (il che sarebbe assurdo se \(n_0\) fosse il più piccolo numero naturale che non verifica la congettura di Collatz). Forse l’autore nasconde qui qualche ipotesi in più sulla sua equazione, altrimenti basta osservare che l’equazione
\[
2^5\, n_k – 3^3\, n_0 = 321
\]
ha come possibile soluzione la coppia \(n_0=45\) e \(n_k=48\). La seconda è che \(n_k>n_0\) per ogni \(k\ge 1\) basti a impedire l’esistenza di un ciclo nella sequenza di \(n_0\). Questa affermazione sembra difficile da giustificare, almeno nella forma in cui appare nell’articolo.

Veniamo comunque all’ultima parte dell’articolo, in cui si dovrebbe ottenere la contraddizione con l’ipotesi dell’esistenza di un numero naturale \(n_0\) la cui sequenza non verifica la congettura di Collatz. Il ragionamento dell’autore si basa sulla possibilità di stimare l’andamento dei termini \(e_k(n_0)\). In sintesi, supponendo che tutti i termini \(n_k\) verifichino \(n_k>n_0\), che dipende dall’ipotesi che \(n_0\) sia il più piccolo numero con la proprietà cercata, l’autore vuole convincerci che si debba avere \(e_k(n_0)\ge 1\), e questo è chiaro per definizione, ma anche \(e_k(n_0)\le 2\), e questo appare invece ingiustificato.

Sarebbe bastato che l’autore si documentasse un po’ sul comportamento delle sequenze per scoprire, per esempio, che basta scegliere \(n_0=27\) per trovare un valore \(e_k(27)=3\), e questo mentre la sequenza non ha ancora raggiunto il numero più grande, il 9232 richiamato prima, e tutti i suoi numeri sono maggiori del 27 iniziale, dunque mentre la sequenza è ancora nella fase crescente, e non ha ancora iniziato la discesa verso il ciclo “1,2″. Scegliendo \(n_0=63\) si trova anche \(e_k(63)=4\), sempre prima che venga raggiunto il massimo e prima di tornare sotto 63, e per \(n_0=703\) si trova \(e_k(703)=5\) prima di tornare sotto 703.

In conclusione, sembra proprio che non possiamo ritenere affidabile la dimostrazione della congettura di Collatz presentata nell’articolo pubblicato sull’International Journal of Mathematical Education in Science and Technology.

Forse vi sarà venuta voglia di provare anche voi a studiare il comportamento delle sequenze generate dalla funzione \(T\), ma prima di farlo, riguardate la vignetta in alto [6 ]https://xkcd.com/710/, forse vi farà cambiare idea!

Claudio Bonanno

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Note e riferimenti   [ + ]

1. https://oeis.org/
2. http://maddmaths.simai.eu/divulgazione/maddmaths-10-interventi/
3. http://www.ericr.nl/wondrous/sitemap.html
4. https://www.tandfonline.com/action/journalInformation?show=aimsScope$\&$journalCode=tmes20
5. Paul S. Bruckman, A proof of the Collatz conjecture, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology 39 (2008), no. 3, 403–407, Erratum, 39 (2008), no. 4, 567
6. https://xkcd.com/710/
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