In matematica bisogna distinguere in maniera chiara tra articoli che presentano errori di tipo matematico sfuggiti alla peer review (e può succedere!) da articoli che sono invece frutto di comportamenti quanto meno poco attenti da parte del comitato editoriale della rivista o truffaldini da parte degli autori e che possono essere a tutti gli effetti chiamati “fake papers”. In questa rubrica ci vogliamo occupare di questi ultimi e, in particolare, di quelli che non risultano ritirati, descrivendo il problema di cui un fake paper si occupa – spesso problemi molto famosi. Ogni segnalazione di fake papers da parte dei lettori è benvenuta.
di Claudio Bonanno
La lista di fake papers non è fortunatamente lunghissima, ma continua a crescere, anche per la sete di denaro delle case editrici meno “attente” ai contenuti degli articoli che pubblicano. In questo numero parliamo di un articolo uscito nel 2017 a nome del Prof. Asset Durmagambetov della “L.N. Gumilyov” Eurasian National University di Astana, in Kazakhstan, sulla rivista Journal of Applied Mathematics and Physics [1 ]Asset A. Durmagambetov, Riemann Hypothesis, Journal of Applied Mathematics and Physics, vol. 5 (2017), pag. 1424–1430, della casa editrice Scientific Research Publishing.
Il titolo dell’articolo è eloquente, “Riemann Hypothesis”, e l’abstract dichiara che si tratta dello sviluppo di altri due lavori dello stesso autore, usciti il primo sulla rivista Advances in Pure Mathematics della stessa casa editrice, e il secondo sulla serie di proceedings di conferenze dell’American Institute of Physics. Tutti i lavori dichiarano in realtà di contenere una dimostrazione dell’ipotesi di Riemann, dunque l’articolo di cui ci occupiamo adesso vuol essere una correzione, più che uno sviluppo, degli articoli precedenti. Neanche a dirlo, una pubblicazione su una rivista della Scientific Research Publishing ha un costo, 299 dollari dovuti come Article Processing Charge (APC) dagli autori di un lavoro accettato per la pubblicazione.
L’esistenza di un costo per la pubblicazione di un articolo, per l’esattezza per la preparazione della sua versione da pubblicare, non è di per sé un’indicazione di cattiva qualità della rivista, anzi l’esistenza di questi costi rientra nel problema molto discusso in ambito accademico dei costi eccessivamente alti di abbonamento ad alcune riviste, e della possibilità di eliminazione di questi costi tramite la pratica dell’Open Access. A volte però, spesso dovremmo scrivere, il APC è un modo come un altro per guadagnare senza badare troppo ai contenuti dell’articolo che si pubblica, a dispetto del “rigoroso processo di controllo” sugli articoli che viene evidenziato sulla home page delle case editrici.
Torniamo al fake paper del Prof. Durmagambetov, e torniamo dunque ad occuparci della funzione zeta di Riemann \(\zeta(s)\). In Fake Papers #1 abbiamo introdotto la funzione zeta, definita come la somma di infiniti termini
\begin{equation} \label{zeta}
\zeta(s) := \sum_{n=1}^\infty\, \frac{1}{n^s} \tag{Z}
\end{equation}
per numeri complessi \(s\) con parte reale maggiore di 1 (insieme su cui la serie converge uniformemente), e raccontato come Riemann dimostrò che è possibile considerarla una funzione analitica per tutti i numeri complessi \(s\) diversi da 1. Nel punto \(s=1\) la funzione zeta ha una “singolarità”, in particolare un polo semplice, ossia esiste finito e diverso da zero il limite
\[ \lim_{s\to 1}\,\, (s-1)\, \zeta(s) \]
Vedremo che questo dettaglio avrà importanza nell’analisi del lavoro del Prof. Durmagambetov.
In Fake Papers #1 abbiamo poi introdotto l’ipotesi di Riemann, la sua congettura che afferma che gli zeri “non banali” della funzione zeta \(\zeta(s)\) si trovano sulla retta dei numeri complessi con parte reale uguale a \(\frac 12\). Per un’analisi più ricca e dettagliata delle proprietà della funzione zeta e dell’ipotesi di Riemann, vi ricordiamo anche l’articolo di Alessandro Zaccagnini.
In questo articolo consideriamo un’altra importante proprietà della funzione zeta, una delle proprietà ritenute fondamentali per la possibile validità dell’ipotesi di Riemann, ossia l’esistenza di un prodotto di Eulero. Fu infatti Leonhard Euler, noto come Eulero in Italia, uno dei più importanti matematici mai esistiti, il primo a studiare poco prima della metà del XVIII secolo, la funzione zeta \(\zeta(s)\) definita nell’equazione \eqref{zeta}. Il nome della funzione zeta è legato a Riemann perché fu lui che ne capì il fine legame con la distribuzione dei numeri primi. Eulero dimostrò che vale l’uguaglianza
\begin{equation} \label{prod-eul}
\zeta(s) = \prod_{p\in {\mathbb P}}\, \Big( 1- \frac{1}{p^s} \Big)^{-1} \tag{E}
\end{equation}
per ogni numero complesso \(s\) con parte reale maggiore di 1. Il termine a destra indica che bisogna moltiplicare tra di loro tutti i termini della forma \((1-\frac{1}{p^s})^{-1}\) con \(p=2,3,5,7,11,\dots\), ossia per tutti i possibili numeri primi. Dunque abbiamo
\[ \prod_{p\in {\mathbb P}}\, \Big( 1- \frac{1}{p^s} \Big)^{-1} = \Big( 1- \frac{1}{2^s} \Big)^{-1}\, \Big( 1- \frac{1}{3^s} \Big)^{-1}\, \Big( 1- \frac{1}{5^s} \Big)^{-1}\, \Big( 1- \frac{1}{7^s} \Big)^{-1}\, \Big( 1- \frac{1}{11^s} \Big)^{-1}\, \cdots \]
e dunque possiamo esprimere la funzione zeta anche come un prodotto di infiniti termini.
Dimostrazione dell'uguaglianza (E)
Usiamo lo sviluppo in serie
\[(1-a)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty\, a^n = 1+a+a^2+a^3+\dots\]
valido per numeri complessi \(a\) tali che \(|a|<1\). Poiché
\[|\frac{1}{p^s}| = p^{-\Re(s)} <1\]
per ogni numero primo \(p\) e ogni \(s\) con parte reale \(\Re(s)>0\), possiamo scrivere
\[\Big( 1- \frac{1}{p^s} \Big)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty\, \frac{1}{p^{sn}} = 1+ \frac{1}{p^s} + \frac{1}{p^{2s}} + \frac{1}{p^{3s}}+ \dots\]
per ogni numero primo \(p\) e ogni \(s\) con parte reale \(\Re(s)>0\).
Consideriamo il caso \(p=2\) e \(p=3\), scriviamo quindi
\[\Big( 1- \frac{1}{2^s} \Big)^{-1}\, \Big( 1- \frac{1}{3^s} \Big)^{-1} = \Big( \sum_{n=0}^\infty\, \frac{1}{2^{sn}} \Big)\, \Big( \sum_{n=0}^\infty\, \frac{1}{3^{sn}} \Big) =\]\[= \Big( 1+ \frac{1}{2^s} + \frac{1}{2^{2s}} + \frac{1}{2^{3s}}+ \dots \Big) \, \Big( 1+ \frac{1}{3^s} + \frac{1}{3^{2s}} + \frac{1}{3^{3s}}+ \dots \Big)\]
sviluppiamo moltiplicando termine a termine, e riscriviamo le potenze come ad esempio \(3^{2s} = 9^s\), ottenendo
\[\Big( 1- \frac{1}{2^s} \Big)^{-1}\, \Big( 1- \frac{1}{3^s} \Big)^{-1} = 1+ \frac{1}{3^s} + \frac{1}{9^{s}} + \frac{1}{27^{s}}+ \dots + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{6^s} + \frac{1}{18^{s}} + \frac{1}{54^{s}}+ \dots +\] \[+ \frac{1}{4^s} + \frac{1}{12^s} + \frac{1}{36^{s}} + \frac{1}{108^{s}}+ \dots + \frac{1}{8^s} + \frac{1}{24^s} + \frac{1}{72^{s}} + \frac{1}{216^{s}}+ \dots + \]\[+ \frac{1}{16^s} + \frac{1}{48^s} + \frac{1}{144^{s}} + \frac{1}{432^{s}}+ \dots\]
Continuando a scrivere tutti i termini che appaiono in questo sviluppo, si nota che si tratta di tutti i termini della forma \(\frac{1}{n^s}\) con \(n\) un numero naturale il cui sviluppo come prodotto di fattori primi dato dal Teorema Fondamentale dell’Aritmetica possa contenere solo i fattori 2 e 3. Inoltre ciascuno di questi termini \(\frac{1}{n^s}\) appare una e una sola volta.
Se ripetiamo lo stesso procedimento con il prodotto
\[\Big( 1- \frac{1}{2^s} \Big)^{-1}\, \Big( 1- \frac{1}{3^s} \Big)^{-1}\, \Big( 1- \frac{1}{5^s} \Big)^{-1}\]
si ottiene quindi la somma di tutti i termini della forma \(\frac{1}{n^s}\) con \(n\) un numero naturale il cui sviluppo come prodotto di fattori primi dato dal Teorema Fondamentale dell’Aritmetica possa contenere solo i fattori 2, 3 e 5, e ciascun termine compare una e una sola volta.
Ripetendo il procedimento con tutti i termini \(\Big( 1- \frac{1}{p^s} \Big)^{-1}\) al variare di tutti i numeri primi, si ottiene quindi l’uguaglianza formale
\[\prod_{p\in {\mathbb P}}\, \Big( 1- \frac{1}{p^s} \Big)^{-1} = \sum_{n=1}^\infty\, \frac{1}{n^s}\]
Abbiamo parlato di uguaglianza formale perché per concludere la dimostrazione bisogna studiare per quali valori il prodotto infinito a primo membro converge.
L’idea è di usare le proprietà del logaritmo per scrivere
\[\log \prod_{p\in {\mathbb P}}\, \Big( 1- \frac{1}{p^s} \Big)^{-1} = – \sum_{p\in {\mathbb P}}\, \log \Big( 1- \frac{1}{p^s} \Big)\]
da cui si vede che certamente il prodotto infinito è convergente per numeri complessi \(s\) con parte reale maggiore di 1.
L’uguaglianza \eqref{prod-eul} fornisce una possibile strada per la dimostrazione dell’ipotesi di Riemann. Considerando il caso di numeri complessi \(s\) con parte reale maggiore di 1 e sfruttando le proprietà del logaritmo, possiamo scrivere
\[\log \zeta(s) = \log \prod_{p\in {\mathbb P}}\, \Big( 1- \frac{1}{p^s} \Big)^{-1} = – \sum_{p\in {\mathbb P}}\, \log \Big( 1- \frac{1}{p^s} \Big)\]
e utilizzando lo sviluppo in serie di Taylor del logaritmo
\[\log (1-a) = – \sum_{k=1}^\infty\, \frac{a^k}{k}\]
valida per numeri complessi \(a\) tali che \(|a|<1\), otteniamo ponendo \(a = \frac{1}{p^s}\)
\[\log \zeta(s) = \sum_{p\in {\mathbb P}}\, \sum_{k=1}^\infty\, \frac{p^{-sk}}{k} = \sum_{k=1}^\infty\, \frac{1}{k}\, \sum_{p\in {\mathbb P}}\, p^{-sk}\]
Nell’ultima uguaglianza abbiamo scambiato l’ordine delle sommatorie, operazione lecita visto che le serie sono convergenti uniformemente. A questo punto usiamo un’idea di Eulero. Nel termine a destra dell’uguaglianza consideriamo i casi \(k=1\) e \(k\ge 2\) separatamente, scrivendo quindi
\begin{equation} \label{idea}
\log \zeta(s) = \sum_{p\in {\mathbb P}}\, \frac{1}{p^s} + \sum_{k=2}^\infty\, \frac{1}{k}\, \sum_{p\in {\mathbb P}}\, p^{-sk} \tag{L}
\end{equation}
Abbiamo così ottenuto a destra due termini, il primo dei quali ricorda la definizione \eqref{zeta} della funzione zeta, stiamo infatti considerando solo numeri primi nella somma infinita che definisce la funzione zeta. Chiamiamo \(P(s)\) questo termine, dunque poniamo
\[P(s) := \sum_{p\in {\mathbb P}}\, \frac{1}{p^s} = \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{5^s} + \frac{1}{7^s} + \frac{1}{11^s} + \frac{1}{13^s} + \dots\]
Abbiamo fatto un percorso lungo e abbastanza tecnico, ma se siete arrivati fin qui, avete superato la parte più difficile e riceverete subito una ricompensa. L’uguaglianza \eqref{idea} ci porta infatti alla dimostrazione di Eulero dell’infinitezza dei numeri primi. La teoria delle serie ci assicura che per
\[\sum_{k=2}^\infty\, \frac{1}{k}\, \sum_{p\in {\mathbb P}}\, p^{-sk}\]
si può allargare l’insieme dei valori \(s\) per cui la serie converge e rappresenta una funzione analitica. Si dimostra infatti che quest’espressione converge uniformemente anche per numeri complessi \(s\) con parte reale maggiore di \(\frac 12\).
In particolare questo termine sarà un numero finito per \(s=1\). Poiché il logaritmo della funzione zeta diverge per \(s=1\), allora necessariamente deve essere divergente anche il termine \(P(1)\), dunque
\[\sum_{p\in {\mathbb P}}\, \frac 1p = \infty\]
e dunque i numeri primi devono necessariamente essere infiniti, altrimenti è facile rendersi conto che la serie dei loro reciproci convergerebbe.
Convergenza del termine in (L)
Per studiare la convergenza del termine
\[\sum_{k=2}^\infty\, \frac{1}{k}\, \sum_{p\in {\mathbb P}}\, p^{-sk}\]
scriviamo una maggiorazione in cui sfruttiamo il fatto che ogni numero primo è maggiore o uguale a 2, e il fatto che la serie armonica \(\sum_{n\ge 1}\, n^{-\alpha}\) converge ad un valore finito \(H(\alpha)\), per ogni \(\alpha>1\).
Indicando con \(\sigma = \Re(s)\) la parte reale di un numero complesso \(s\), scriviamo
\[\sum_{k=2}^\infty\, \frac{1}{k}\, \sum_{p\in {\mathbb P}}\, | p^{-sk} | = \sum_{k=2}^\infty\, \frac{1}{k}\, \sum_{p\in {\mathbb P}}\, p^{-\sigma k} \]
\[= \sum_{k=2}^\infty\, \frac{1}{k}\, 2^{-\sigma k}\, 2^{\sigma k} \, \sum_{p\in {\mathbb P}}\, p^{-\sigma k} = \sum_{k=2}^\infty\, \frac{2^{-\sigma k}}{k}\, \sum_{p\in {\mathbb P}}\, \left( \frac p2 \right)^{-\sigma k}\]
Nell’ultimo termine possiamo usare che per ogni \(k\ge 2\)
\[\sum_{p\in {\mathbb P}}\, \left( \frac p2 \right)^{-\sigma k} \le 1+ \sum_{n=1}^\infty\, n^{-\sigma k} \le 1+ \sum_{n=1}^\infty\, n^{-2\sigma} = 1+H(2\sigma)\]
che è un termine finito per \(2\sigma >1\), dunque per \(\sigma > \frac 12\), ossia per tutti i numeri complessi \(s\) con parte reale maggiore di \(\frac 12\).
Otteniamo quindi
\[\sum_{k=2}^\infty\, \frac{1}{k}\, \sum_{p\in {\mathbb P}}\, | p^{-sk} | \le (1+H(2\sigma))\, \sum_{k=2}^\infty\, \frac{2^{-\sigma k}}{k}\]
e l’ultimo termine converge, ad esempio per il criterio della radice.
Tornando al caso generale dell’uguaglianza \eqref{idea}, abbiamo ottenuto dunque che
\[\log \zeta(s) – P(s) = \sum_{k=2}^\infty\, \frac{1}{k}\, \sum_{p\in {\mathbb P}}\, p^{-sk}\]
e il termine destro ha senso per numeri complessi \(s\) con parte reale maggiore di \(\frac 12\). Se dunque sapessimo che anche il termine \(P(s)\) fosse finito per ogni numero complesso \(s\) con parte reale maggiore di \(\frac 12\), allora la funzione zeta non si potrebbe annullare in quest’insieme, e l’ipotesi di Riemann sarebbe dunque verificata (stiamo qui usando anche la simmetria degli zeri di \(\zeta(s)\), che deriva dall’equazione funzionale). Vale anche il viceversa, e dunque il fatto che il termine \(P(s)\) si possa estendere ad una funzione analitica sull’insieme dei numeri complessi \(s\) con parte reale maggiore di \(\frac 12\) è equivalente all’ipotesi di Riemann.
Questo è il punto di partenza del lavoro del Prof. Durmagambetov. Il suo tentativo è dunque quello di dimostrare il prolungamento analitico della funzione \(P(s)\) all’insieme dei numeri complessi \(s\) con parte reale maggiore di \(\frac 12\). Per farlo usa alcune identità integrali e in particolare la formula di sommazione di Eulero-McLaurin. Manipolando queste espressioni ottiene un’espressione in cui
\[2s\, P(s) -\zeta(s)\]
rappresenta una funzione analitica sull’insieme dei numeri complessi \(s\) con parte reale maggiore di \(\frac 12\) con un polo semplice in \(s=1\). Se così fosse, essendo \(\zeta(s)\) analitica su tutto l’insieme dei numeri complessi diversi da 1, si otterrebbe l’analiticità di \(P(s)\) sull’insieme dei numeri complessi \(s\) con parte reale maggiore di \(\frac 12\), e dunque l’ipotesi di Riemann.
Purtroppo l’articolo contiene degli errori, di calcolo, di metodo e anche di principio. Gli errori di calcolo sono facilmente identificabili, e alcuni sono innocui. Tuttavia alcuni semplici errori di segno rendono la dimostrazione del teorema principale sbagliata. D’altra parte sarebbe stato un vero miracolo se la dimostrazione avesse funzionato, l’errore di metodo è infatti la sostituzione ripetuta di una serie di identità in un’uguaglianza iniziale. Gira che ti rigira infatti, se i conti non contengono errori, si ritorna necessariamente all’uguaglianza iniziale. Cosa che succederebbe anche in questo caso.
Infine, in maniera più profonda, l’errore di principio consiste nel provare a dimostrare che \(2s\, P(s) -\zeta(s)\) sia una funzione analitica con un polo semplice in \(s=1\). Infatti, come abbiamo visto all’inizio, avendo anche la funzione zeta un polo semplice in \(s=1\), ne otterremo che la funzione \(P(s)\) ha un polo semplice in \(s=1\), eventualmente eliminabile (se le singolarità in \(s=1\) si “cancellassero” tra di loro). Ma l’equazione \eqref{idea} ci dice che la funzione \(P(s)\) ha in \(s=1\) una “singolarità logaritmica”, ossia diverge come la funzione \(\log \frac{1}{s-1}\), non un polo semplice, nel qual caso si comporterebbe come la funzione \(\frac{1}{s-1}\).
Peccato che il lavoro del Prof. Durmagambetov non abbia ricevuto il controllo rigoroso promosso dalla casa editrice Scientific Research Publishing. L’articolo non sarebbe apparso su quesa rubrica, ma la casa editrice non avrebbe incassato i suoi 598 dollari per i due articoli pubblicati.
Concludiamo segnalando ai più esperti l’articolo [2 ]Paul R. Chernoff, A pseudo zeta function and the distribution of primes, Proceedings of the National Academy of Sciences, vol. 97 (2000), pag. 7697–7699, che contiene interessanti discussioni sulla funzione \(P(s)\).
Note e riferimenti
