Dopo una lunga pausa, riprende la rubrica Curiosità olimpiche, con una curiosità riguardante le finali nazionali delle Olimpiadi della Matematica, tenutesi a inizio maggio a Cesenatico.
Ne approfittiamo per segnalare che la scorsa settimana è stata ufficializzata la composizione della formazione italiana per le Olimpiadi Internazionali.
4 – In sei a mensa
Sei amici matematici arrivano a mensa, prendono i loro vassoi rettangolari (di lati $$a$$ e $$b$$) e decidono di sedersi ad un bel tavolo circolare (di raggio $$r$$). Da bravi matematici si siedono regolarmente spaziati attorno al tavolo e mettono i vassoi sul tavolo, disposti in modo che i sei lati lunghi dei vassoi formino un esagono regolare avente baricentro nel centro del tavolo.
I sei amici rimangono interdetti, notando che i loro vassoi sporgono dal tavolo. Alberto allora propone di girare i vassoi in modo che siano questa volta i sei lati corti a formare un esagono regolare avente baricentro nel centro del tavolo: “Forse così ci sarà più spazio e i vassoi non sporgeranno più dal tavolo”.
Marco non è convinto: “Secondo me i vassoi così disposti sporgeranno ancora di più dal tavolo”.
Chi dei due ha ragione?
Per formalizzare meglio la questione, poniamola così: diciamo che nel primo caso il punto dei vassoi più distante dal centro del tavolo (uno dei vertici non sull’esagono) dista $$R(a,b)>r$$ dal centro del tavolo. Dopo aver girato i vassoi il punto più distante dal centro del tavolo dista $$R(b,a)$$ dal centro del tavolo. Quale delle due distanze è maggiore?
Come sempre, per questa rubrica, vi consiglio di pensarci un po’ prima di andare avanti nella lettura.
Pensateci ancora un po’…
Va bene, direte voi, problema carino, ma cosa c’entra con Cesenatico? Rileggiamo il testo del primo problema:
Es. 1 – Cesenatico 2017 Siano $$a$$ e $$b$$ due numeri reali positivi. Consideriamo un esagono regolare di lato $$a$$, e costruiamo sui suoi lati sei rettangoli di lati $$a$$ e $$b$$, disposti esternamente all’esagono. I dodici nuovi vertici giacciono su una circonferenza. Ripetiamo l’operazione precedente, ma scambiando fra loro i valori di $$a$$ e $$b$$: ossia, partiamo da un esagono regolare di lato $$b$$ e costruiamo su di esso, sempre esternamente all’esagono, sei rettangoli di lati $$a$$ e $$b$$. Otteniamo che i dodici nuovi vertici giacciono su una seconda circonferenza. Dimostrare che le due circonferenze hanno lo stesso raggio.
Il problema è esattamente questo, solamente è sparita l’ambientazione (a favore di un maggior rigore matematico) ed è apparso un suggerimento: $$R(a,b)=R(b,a)$$, resta solo da dimostrarlo.
Prima della soluzione, pensateci ancora un po’.
Il mio primo impatto alla lettura del problema è stato “Si fa subito con la geometria analitica“. In effetti è vero, ma è decisamente meno elegante della seguente dimostrazione.
Consideriamo il primo esagono, e chiamiamo O il suo centro, MN un suo lato, e MNPQ il rettangolo costruito su MN. La lunghezza che vogliamo ricavare è quella di OQ. Consideriamo quindi il triangolo OMQ: questo ha un lato di lunghezza $$a$$ (il lato dell’esagono coincide con il raggio della circonferenza circoscritta) e uno di lunghezza $$b$$. L’angolo in M è la somma di un angolo retto e di un angolo di 60°: misura pertanto 150°.
Considerando il secondo esagono, con la stessa costruzione si mostra che la distanza cercata è nuovamente la lunghezza del terzo lato di un triangolo con lati $$b$$, $$a$$ e angolo compreso di 150°.
I due triangoli sono congruenti e le distanze $$R(a,b)$$ e $$R(b,a)$$ coincidono.
Il punto cruciale della dimostrazione giace nella seguente considerazione: il lato dell’esagono coincide con il raggio della circonferenza circoscritta. Se non consideriamo un esagono regolare, ma un altra figura piana regolare le cose cambiano.
Se gli amici fossero stati non sei ma $$n$$ (diciamo almeno $$3$$), chi avrebbe avuto ragione? Alberto o Marco? Ormai avete in mano tutti gli strumenti per risolvere il problema e quindi non vi darò un’ulteriore soluzione, ma lascio a voi il divertimento.
Grazie a Marco Golla per la segnalazione del retroscena sulla nascita del problema (“spuntato spontaneamente in mensa a Uppsala“), che ha avuto l’idea iniziale e ha fatto le prime dimostrazioni. Dopo vari interventi e limature il problema ha poi assunto la forma definitiva.
