Molte idee della matematica sembrano astratte, ma nascono dalla percezione concreta che abbiamo della realtà. Ad esempio, il concetto di continuità nasce dal fatto che il mondo che ci circonda, usualmente, muta in maniera relativamente graduale
Per capire meglio questo concetto, proviamo ad immaginare un modo diverso, che sia nient’affatto graduale. Mi alzo la mattina, vado in bagno e apro l’acqua per lavarmi. Tutto bene al principio: l’acqua scorre dal rubinetto alla temperatura che più mi piace e che mi permette di passare dallo stato di torpore a quello di veglia senza particolari traumi. Ma, improvvisamente, senza che nulla lo lasciasse presagire, la temperatura dell’acqua diviene gelida. Non faccio in tempo a riprendermi dallo shock, che diventa bollente. Allontano le mani di scatto, ma il getto (che prima andava regolarmente verso il basso), senza nessun preavviso, comincia a cambiare direzione senza alcun preavviso: verso l’alto, verso lo specchio, verso di me, poi di nuovo verso il basso e così via, senza nessun criterio apparente. Dopo è il turno delle mattonelle: fino a ieri si consumavano, ma poco alla volta e ora, in un istante, si polverizzano. L’asciugamano scompare dal bagno e appare in salotto. Al suo posto appare la tovaglia. E così via. Tutto appare come frantumato, come in un quadro futurista, in cui l’immagine è spezzata in tanti frammenti. Si tratta evidentemente di una giornata storta…
Cos’è, quindi, la continuità? E’ l’opposto di quello che ho descritto. E’ un mondo in cui due istantanee di ciò che ci circonda, scattate ad istanti “vicini”, si “somigliano”. Le transizioni e le trasformazioni possono avvenire, ma non in maniera drastica, immediata. I cambiamenti possono avvenire, ma sempre passando per una sequenza di stati intermedi dallo stato di partenza a quello di arrivo. Ovviamente il concetto andrebbe precisato ed è in questa fase che l’uso del linguaggio matematico mostra tutta la sua potenza e duttilità.
Qui, vorrei limitarmi a sottolineare due ingredienti fondamentali.
Il primo riguarda la “somiglianza delle foto”. Per parlare di continuità si deve introdurre un concetto di “vicinanza” che, in generale, dipende da contesto a contesto. A seconda del problema che si studia, due oggetti possono sembrare molto simili o molto diversi. Il secondo aspetto da precisare è quello di “istanti vicini”. Anche qui, bisogna dare un significato al concetto di “vicinanza” degli istanti. La continuità è una proprietà che collega la somiglianza delle foto alla vicinanza degli istanti. Tutto, comunque, si può precisare tramite il formalismo matematico in maniera estremamente elegante e generale.
Da quanto detto finora si deduce un fatto importante: l’ ”essere continuo” non è una proprietà assoluta! A seconda degli “occhiali” con cui guardiamo un fenomeno questo può essere continuo o non esserlo. Spesso è il problema stesso che suggerisce la maniera con cui essere guardato e spesso questa maniera si traduce in una proprietà di continuità. La comprensione dei concetti naturali di “vicinanza”, spesso, permette la comprensione profonda del problema stesso.
di Corrado Mascia
