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Una nuova mini-serie, fatta di video e articoli, di Alessandro Zaccagnini, matematico, esperto di teoria dei numeri, autore della fortunata serie “Dialogo sui numeri primi“, questa volta per raccontarci tante diverse dimostrazioni di un unico Teorema: 

Teorema (Euclide). Esistono infiniti numeri primi.

Questa è la prima puntata (trovi la presentazionedella serie qui).

La dimostrazione di Euclide

Sia \(\mathcal{P}= \{ p_1\), \(p_2\), …, \(p_k \}\) un insieme finito di numeri primi. Il numero \(N = p_1 \cdot p_2 \cdots p_k + 1\) non è divisibile per nessuno dei numeri primi in \(\mathcal{P}\), perché la divisione dà resto \(1\). \(N\) è primo, o prodotto di numeri primi non appartenenti a \(\mathcal{P}\). In ogni caso, \(\mathcal{P}\) non è l’insieme di tutti i numeri primi.

Vediamo due esempi di quello che può accadere. Se \(\mathcal{P}= \{2\), \(3\), \(5 \}\), allora \(N = 2 \cdot 3 \cdot 5 + 1 = 31\) è primo. Se \(\mathcal{P}= \{2\), \(5\), \(11 \}\): allora \(N = 2 \cdot 5 \cdot 11 + 1 = 111 = 3 \cdot 37\) non è primo. In entrambi i casi abbiamo trovato almeno un numero primo non appartenente a \(\mathcal{P}\).

Una formulazione equivalente

I Matematici greci preferivano non parlare di insiemi infiniti. Possiamo usare l’idea esposta sopra per enunciare e dimostrare una variante.

L’insieme dei numeri primi è illimitato superiormente.

Sia \(n\) un qualsiasi intero positivo e sia \(p\) un qualsiasi fattore primo di \(M = n! + 1\): evidentemente \(p > n\) dato che \(M \equiv 1 \bmod m\) per ogni intero \(m \in [2, n]\). Dunque l’insieme dei numeri primi è illimitato superiormente.

In questa tabella \(p_n\) indica il piú piccolo fattore primo di \(n! + 1\)
Oltre a verificare la correttezza della dimostrazione qui sopra, questa tabella ci permette di “indovinare” il Teorema di Wilson: se \(p\) è un numero primo (2, 3, 5, 7, 11, nel nostro caso) allora \((p – 1)! + 1\) è divisibile per \(p\).

La figura illustra cosa vuol dire in concreto dimostrare che l’insieme dei numeri primi è illimitato: scelto comunque l’intero \(n\), possiamo determinare un numero primo \(p_n > n\), e quindi \(n\) non è una limitazione superiore per l’insieme dei numeri primi.

Qualche osservazione per concludere: per \(n \ge 3\), anche i fattori primi di \(M = n! – 1\) sono tutti \(> n\), perché dividendo \(M\) per un qualunque intero \(m \in [2, n]\) troviamo il resto \(m – 1\). Possiamo dunque usare le idee esposte per dimostrare anche altri risultati simili al Teorema di Euclide.

  1. Osserviamo che \(n! – 1 \equiv 3 \bmod 4\) per \(n \ge 4\). Quindi esistono infiniti numeri primi nella progressione \(3\) modulo \(4\): per esempio \(5! – 1 = 120 – 1 = 7 \cdot 17\) e \(7 \equiv 3 \bmod 4\). Infatti, se tutti i numeri primi da un certo punto in poi appartenessero alla classe \(1\) modulo \(4\), allora per \(n\) abbastanza grande anche \(n! – 1\) dovrebbe avere tutti i suoi fattori primi in questa classe di resto, e quindi \(n! – 1\) sarebbe \(\equiv 1 \bmod 4\).
  2. Analogamente, \(n! – 1 \equiv 5 \bmod 6\) per \(n \ge 3\). Quindi esistono infiniti numeri primi nella progressione \(5\) modulo \(6\): per esempio \(6! – 1 = 720 – 1\) è primo ed è \(\equiv 5 \bmod 6\).
  3. I campi finiti non sono algebricamente chiusi: basta considerare il prodotto di tutti i polinomi monici di primo grado e aggiungere \(1\). Per esempio, se prendiamo il campo con 5 elementi, il polinomio \(p(x) = x (x – 1) (x – 2) (x – 3) (x – 4) + 1\) non ha radici poiché \(p(a) = 1\) per ogni elemento \(a\) del campo stesso. In realtà, questo fatto è collegato al Piccolo Teorema di Fermat, perché anche il polinomio \(q(x) = x^5 – x + 1\) ha la stessa proprietà e infatti \(p(x) \equiv q(x) \bmod 5\).

Alessandro Zaccagnini

 

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