Storia di una congettura

Lo scorso 18 marzo 2010 si è compiuto un importante atto di una storia che negli ultimi anni ha appassionato la comunità matematica. L'istituto  Clay  di Boston ha deciso di attribuire al matematico russo  Grigory  Perelman  il premio di un milione di dollari per la dimostrazione della congettura  di  Poincaré, un fondamentale problema di topologia proposto nel 1904 e rimasto aperto da allora.

La congettura di  Poincaré  dice che "ogni varietà tridimensionale compatta e semplicemente connessa è  omeomorfa  a  una sfera tridimensionale". Per comprendere esattamente l'enunciato servono alcune conoscenze specialistiche. Intuitivamente, possiamo dire che questa riguarda un tipo di problemi che si presenta spesso in matematica quando si vogliono descrivere le possibili forme di un oggetto geometrico. In  questo  ambito, si cerca di classificare tutti i possibili oggetti che hanno determinate proprietà, dimostrando che devono necessariamente essere di un certo tipo noto. Nel caso in questione, si vogliono trovare proprietà di uno spazio tridimensionale sufficienti ad assicurare che lo spazio abbia la stessa forma di una sfera tridimensionale (cioè  l'analogo della sfera consueta, ma in uno spazio di dimensione quattro). La congettura di  Poincaré  dice che è sufficiente richiedere che lo spazio sia semplicemente connesso,  cioè  che ogni curva chiusa contenuta nello spazio possa essere deformata gradualmente fino a diventare un punto.

Negli anni '80  W.  Thurston  formulò una congettura più ampia, detta "di  geometrizzazione", che  include  quella di  Poincaré. Egli descrisse otto tipi fondamentali  di  oggetti geometrici, e ipotizzò che ogni spazio tridimensionale si potesse ottenere come unione di componenti di questo tipo.  Thurston  dimostrò questo risultato per ampie classi di spazi, ma alcuniimportanti  casi rimanevano aperti. In particolare la congettura di  Poincaré, nonostante decenni di sforzi da parte di diversi matematici, continuava  ad essere insoluta.

All'inizio degli anni ‘90, R.  Hamilton  suggerì una strategia di dimostrazione di queste congetture completamente diversa da quelle tentate fino  ad allora. Nel suo approccio, si considera una varietà tridimensionale e si fa evolvere la sua metrica secondo un’equazione differenziale detta  flusso di Ricci.  Hamilton  congetturò che mediante  questa  evoluzione la metrica si avvicinasse sempre di più a un limite, che corrispondeva a uno dei modelli descritti da  Thurston. Una complicazione del procedimento stava nel fatto che l’evoluzione  può  incontrare delle singolarità, e va dimostrato che queste possono essere rimosse senza alterare la struttura della varietà.  Hamilton  dimostrò importanti risultati in questa direzione, ma si arrestò di fronte a delle difficoltà che non era in grado di risolvere.

Del tutto inaspettatamente, tra il 2002 e il 2003,  Perelman  pubblicò sul web tre articoli in cui  dimostrava  la congettura di  Thurston(quindi in particolare quella di  Poincaré) secondo l’approccio di  Hamilton.  Perelman  era già noto per alcuni importanti risultati di geometria  riemanniana, ma non aveva lavorato prima di allora sul flusso di Ricci. I tre articoli contengono alcune cruciali innovazioni nel procedimento: tra queste l’introduzione di una quantità geometrica, chiamata  entropia, che nel corso dell’evoluzione è crescente. Questo consentì a  Perelman  di escludere la formazione di certi tipi di singolarità, perché questi  implicherebbero  una diminuzione dell’entropia. Nello studio delle singolarità vengono anche utilizzati risultati sulla geometria degli spazi a curvatura  positiva  e su un tipo di oggetti geometrici non regolari, detti spazi di  Alexandrov. Il procedimento di  Perelman  è una geniale combinazione di tecniche analitiche e geometriche, e mostra un'abilità nello studio del flusso di Ricci che supera quella degli esperti del settore fino a quel momento.

I lavori di  Perelman  sono scritti in forma molto concisa e sono di difficile lettura anche per gli specialisti. Dopo uno studio  di  alcuni anni da parte di vari gruppi di matematici, si è arrivati alla conclusione che la dimostrazione di  Perelman  è completa e corretta, e ne sono state scritte versioni più dettagliate.

Nel frattempo, il comportamento di  Perelman  è stato insolitamente riservato e teso ad evitare la popolarità che i suoi risultati gli hanno conferito. Non ha voluto pubblicare su rivista i suoi lavori messi sul web. Dopo aver tenuto nel 2003 alcune conferenze in Europa e negli Stati Uniti, è tornato in Russia isolandosi completamente dalla comunità matematica. Nel 2006 ha suscitato  grande  clamore il suo rifiuto della medaglia  Fields. Non ci sono ancora notizie ufficiali sulla sua reazione alla recente assegnazione del premio dell’istituto  Clay, ma sembra probabile un  ulteriore  rifiuto. Gli istitutori del premio di un milione  di  dollari probabilmente non immaginavano un esito così peculiare della loro iniziativa.

di Carlo Sinestrari